Номер 3.79, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.79, страница 138.

Условие.

3.79 Секция паркета, площадь которого равна $400 \, \text{см}^2$, состоит из шести прямоугольных пластин одинаковой ширины (рис. 3.6). Стороны большой пластины относятся как $1 : 3$. Определите размеры большой и малой пластин.

Рис. 3.6

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи проанализируем геометрическое расположение пластин и используем данные из условия.

1. Обозначим размеры пластин.

Вся секция состоит из шести прямоугольных пластин: четырех больших и двух малых. Все пластины, согласно условию, имеют одинаковую ширину. Рассмотрим рисунок 3.6.

• Малая пластина: В центре расположены две малые пластины. Они одинаковы и вместе образуют квадрат. Пусть ширина одной малой пластины равна $a$, а ее длина равна $l_м$. Когда две такие пластины приложены друг к другу по длине, их общая ширина становится $a+a=2a$. Чтобы они образовали квадрат, их общая ширина должна быть равна их длине. Следовательно, $l_м = 2a$. Таким образом, размеры малой пластины: $a \times 2a$. Сторона внутреннего квадрата, образованного двумя малыми пластинами, равна $2a$.
• Большая пластина: Пусть ширина большой пластины равна $b$, а длина $l_б$. По условию, стороны большой пластины относятся как $1:3$, поэтому $l_б = 3b$. Размеры большой пластины: $b \times 3b$.

2. Установим связь между размерами пластин.

На рисунке видно, что четыре большие пластины обрамляют внутренний квадрат. Длина большой пластины (например, верхней) располагается вдоль стороны внутреннего квадрата. Это означает, что длина большой пластины должна быть равна стороне внутреннего квадрата:

$l_б = 2a$

Так как $l_б = 3b$, мы получаем ключевое соотношение между $a$ и $b$:

$3b = 2a$

3. Проверим условие об одинаковой ширине.

Размеры малой пластины: $\{a, 2a\}$.

Размеры большой пластины: $\{b, 3b\}$. Подставив $b = \frac{2a}{3}$, получим $\{ \frac{2a}{3}, 2a \}$.

Видим, что у обеих пластин есть общая сторона размером $2a$. Это и есть та "одинаковая ширина", о которой говорится в условии. Для малой пластины это длина, а для большой — тоже длина.

4. Используем информацию о площади.

Площадь всей секции паркета равна $400 \text{ см}^2$. Секция представляет собой большой квадрат. Определим длину его стороны $L$.

Сторона большого квадрата складывается из ширины левой большой пластины, стороны внутреннего квадрата и ширины правой большой пластины:

$L = b + 2a + b = 2a + 2b$

Площадь секции равна $L^2$.

$S = (2a + 2b)^2 = 400 \text{ см}^2$

Из этого уравнения находим сторону $L$:

$L = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$

Следовательно:

$2a + 2b = 20 \implies a + b = 10$

5. Решим систему уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 3b = 2a \\ a + b = 10 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a$: $a = 10 - b$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$3b = 2(10 - b)$

$3b = 20 - 2b$

$5b = 20$

$b = 4 \text{ см}$

Теперь найдем $a$:

$a = 10 - b = 10 - 4 = 6 \text{ см}$

6. Определим размеры пластин.

Теперь, зная значения $a$ и $b$, мы можем найти размеры большой и малой пластин.

Размеры большой пластины

Размеры большой пластины равны $b$ и $3b$.

Ширина: $b = 4 \text{ см}$

Длина: $3b = 3 \times 4 = 12 \text{ см}$

Ответ: Размеры большой пластины $4 \text{ см} \times 12 \text{ см}$.

Размеры малой пластины

Размеры малой пластины равны $a$ и $2a$.

Ширина: $a = 6 \text{ см}$

Длина: $2a = 2 \times 6 = 12 \text{ см}$

Ответ: Размеры малой пластины $6 \text{ см} \times 12 \text{ см}$.