Номер 3.77, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.77, страница 138.

Условие.

3.77 a) Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а его гипотенуза равна 1 дм. Найдите периметр треугольника.

б) Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно $\frac{17}{8}$, а другой катет равен 30 см. Найдите площадь треугольника.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По условию, катеты относятся как $3:4$. Это можно записать как $a = 3x$ и $b = 4x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности. Гипотенуза $c = 1$ дм. Для удобства вычислений переведем дециметры в сантиметры: $c = 10$ см.
Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.
Подставим наши значения в формулу:
$(3x)^2 + (4x)^2 = 10^2$
$9x^2 + 16x^2 = 100$
$25x^2 = 100$
$x^2 = \frac{100}{25} = 4$
$x = \sqrt{4} = 2$ (так как длина стороны не может быть отрицательной).
Теперь найдем длины катетов:
$a = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см.
$b = 4x = 4 \cdot 2 = 8$ см.
Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.
$P = 6 \text{ см} + 8 \text{ см} + 10 \text{ см} = 24$ см.
Так как исходные данные были в дециметрах, можно перевести ответ обратно: $24 \text{ см} = 2.4 \text{ дм}$.
Ответ: $24$ см (или $2.4$ дм).

б)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По условию, отношение гипотенузы к одному из катетов равно $\frac{17}{8}$. Допустим, это катет $a$: $\frac{c}{a} = \frac{17}{8}$. Отсюда можно выразить $c = 17x$ и $a = 8x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности.
Второй катет, по условию, равен $b = 30$ см.
Применим теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
Подставим известные значения:
$(8x)^2 + 30^2 = (17x)^2$
$64x^2 + 900 = 289x^2$
$289x^2 - 64x^2 = 900$
$225x^2 = 900$
$x^2 = \frac{900}{225} = 4$
$x = \sqrt{4} = 2$.
Теперь мы можем найти длину катета $a$:
$a = 8x = 8 \cdot 2 = 16$ см.
Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab$.
Мы знаем оба катета: $a = 16$ см и $b = 30$ см.
$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240$ см².
Ответ: $240$ см².