Номер 3.84, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.84, страница 139.

Условие.

3.84 Составьте неполное квадратное уравнение, имеющее корни:

а) 0 и 3;

б) $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$;

в) -8 и 8;

г) 0 и $\sqrt{2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Даны корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Общий вид квадратного уравнения, имеющего корни $x_1$ и $x_2$, можно записать как $a(x - x_1)(x - x_2) = 0$, где $a \neq 0$.
Поскольку один из корней равен нулю ($x_1=0$), свободный член $c$ в уравнении $ax^2+bx+c=0$ должен быть равен нулю. Такое уравнение является неполным квадратным уравнением вида $ax^2+bx=0$.
Подставим наши корни в формулу $a(x - x_1)(x - x_2) = 0$. Для простоты возьмем коэффициент $a=1$.
$(x - 0)(x - 3) = 0$
$x(x - 3) = 0$
Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид уравнения:
$x^2 - 3x = 0$
Это неполное квадратное уравнение ($c=0$) с корнями 0 и 3.
Ответ: $x^2 - 3x = 0$.

б) Даны корни $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{2}$.
Корни являются противоположными числами ($x_1 = -x_2$). Сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\sqrt{2} + \sqrt{2} = 0$.
По теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $-p$. Так как сумма корней равна 0, то $p=0$. Это означает, что уравнение является неполным квадратным уравнением вида $x^2+q=0$ (или $ax^2+c=0$ в общем виде), где коэффициент при $x$ равен нулю.
Произведение корней по теореме Виета равно $q$:
$q = x_1 \cdot x_2 = (-\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2}) = -2$
Таким образом, уравнение имеет вид:
$x^2 + 0 \cdot x + (-2) = 0$
$x^2 - 2 = 0$
Это неполное квадратное уравнение ($b=0$) с корнями $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$.
Ответ: $x^2 - 2 = 0$.

в) Даны корни $x_1 = -8$ и $x_2 = 8$.
Как и в предыдущем пункте, корни являются противоположными числами. Их сумма равна $x_1 + x_2 = -8 + 8 = 0$.
Следовательно, коэффициент при $x$ равен нулю, и уравнение будет неполным, вида $ax^2+c=0$.
Воспользуемся формулой $a(x - x_1)(x - x_2) = 0$. Пусть $a=1$.
$(x - (-8))(x - 8) = 0$
$(x + 8)(x - 8) = 0$
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$x^2 - 8^2 = 0$
$x^2 - 64 = 0$
Это неполное квадратное уравнение ($b=0$) с корнями -8 и 8.
Ответ: $x^2 - 64 = 0$.

г) Даны корни $x_1 = 0$ и $x_2 = \sqrt{2}$.
Так как один из корней равен нулю, свободный член уравнения равен нулю, и уравнение является неполным, вида $ax^2+bx=0$.
Подставим корни в формулу $a(x - x_1)(x - x_2) = 0$, взяв $a=1$.
$(x - 0)(x - \sqrt{2}) = 0$
$x(x - \sqrt{2}) = 0$
Раскроем скобки:
$x^2 - \sqrt{2}x = 0$
Это неполное квадратное уравнение ($c=0$) с корнями 0 и $\sqrt{2}$.
Ответ: $x^2 - \sqrt{2}x = 0$.