Номер 1, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Вопросы к параграфу. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 1, страница 142.

Условие.

Сформулируйте теорему Виета и запишите формулы, выражающие связь между корнями и коэффициентами приведённого квадратного уравнения (фрагмент 1).

Проверьте, что уравнение $x^2 + 16x + 63 = 0$ имеет корни, и назовите их сумму и произведение.

Решение 3.

Решение 4.

Сформулируйте теорему Виета и запишите формулы, выражающие связь между корнями и коэффициентами приведённого квадратного уравнения (фрагмент 1).
Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения устанавливает связь между корнями уравнения и его коэффициентами, не вычисляя сами корни.
Формулировка теоремы: Сумма корней приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ равна его второму коэффициенту $p$, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену $q$.
Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения, то эти соотношения записываются в виде следующих формул:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$
Ответ: Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ утверждает, что сумма его корней $x_1$ и $x_2$ равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

Проверьте, что уравнение $x^2 + 16x + 63 = 0$ имеет корни, и назовите их сумму и произведение.
Чтобы проверить наличие действительных корней у квадратного уравнения, необходимо вычислить его дискриминант $D$. Для уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, то уравнение имеет действительные корни.
В нашем уравнении $x^2 + 16x + 63 = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 16$, $c = 63$.
Вычисляем дискриминант:
$D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4$
Так как $D = 4 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Сумму и произведение корней можно найти с помощью теоремы Виета. Для приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$
В нашем уравнении $p = 16$ и $q = 63$.
Следовательно, сумма корней равна: $x_1 + x_2 = -16$.
Произведение корней равно: $x_1 \cdot x_2 = 63$.
Ответ: Уравнение имеет корни, так как его дискриминант $D=4$ положителен. Сумма корней равна -16, произведение корней равно 63.