Номер 3.95, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.95, страница 144.

Условие.

РАССУЖДАЕМ Решите квадратное уравнение подбором корней (3.95–3.97).

3.95 а) $y^2 + 9y + 20 = 0$; б) $x^2 - 11x + 24 = 0$; в) $t^2 - 9t + 8 = 0$; г) $z^2 + 12z + 20 = 0$; д) $x^2 + 13x + 30 = 0$; е) $y^2 - 17y + 30 = 0$; ж) $t^2 + 12t + 32 = 0$; з) $u^2 - 15u + 50 = 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данных квадратных уравнений подбором корней мы будем использовать теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1$ и $x_2$ равна второму коэффициенту $p$, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену $q$.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases}$

а) $y^2 + 9y + 20 = 0$

По теореме Виета для корней $y_1$ и $y_2$ имеем:

$\begin{cases} y_1 + y_2 = -9 \\ y_1 \cdot y_2 = 20 \end{cases}$

Так как произведение корней положительно ($20$), а сумма отрицательна ($-9$), оба корня являются отрицательными. Подбираем пары отрицательных множителей числа $20$: $(-1, -20)$, $(-2, -10)$, $(-4, -5)$. Проверяем их сумму. Сумма, равная $-9$, получается для пары чисел $-4$ и $-5$.

Ответ: $-5; -4$.

б) $x^2 - 11x + 24 = 0$

По теореме Виета для корней $x_1$ и $x_2$ имеем:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 11 \\ x_1 \cdot x_2 = 24 \end{cases}$

Так как произведение ($24$) и сумма ($11$) корней положительны, оба корня являются положительными. Подбираем пары положительных множителей числа $24$: $(1, 24)$, $(2, 12)$, $(3, 8)$, $(4, 6)$. Сумма, равная $11$, получается для пары чисел $3$ и $8$.

Ответ: $3; 8$.

в) $t^2 - 9t + 8 = 0$

По теореме Виета для корней $t_1$ и $t_2$ имеем:

$\begin{cases} t_1 + t_2 = 9 \\ t_1 \cdot t_2 = 8 \end{cases}$

Так как произведение ($8$) и сумма ($9$) корней положительны, оба корня являются положительными. Легко подобрать, что это числа $1$ и $8$. Проверяем: $1+8=9$ и $1 \cdot 8 = 8$.

Ответ: $1; 8$.

г) $z^2 + 12z + 20 = 0$

По теореме Виета для корней $z_1$ и $z_2$ имеем:

$\begin{cases} z_1 + z_2 = -12 \\ z_1 \cdot z_2 = 20 \end{cases}$

Так как произведение корней положительно ($20$), а сумма отрицательна ($-12$), оба корня являются отрицательными. Подбираем пары отрицательных множителей числа $20$: $(-1, -20)$, $(-2, -10)$, $(-4, -5)$. Сумма, равная $-12$, получается для пары чисел $-2$ и $-10$.

Ответ: $-10; -2$.

д) $x^2 + 13x + 30 = 0$

По теореме Виета для корней $x_1$ и $x_2$ имеем:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -13 \\ x_1 \cdot x_2 = 30 \end{cases}$

Так как произведение корней положительно ($30$), а сумма отрицательна ($-13$), оба корня являются отрицательными. Подбираем пары отрицательных множителей числа $30$. Сумма, равная $-13$, получается для пары чисел $-3$ и $-10$.

Ответ: $-10; -3$.

е) $y^2 - 17y + 30 = 0$

По теореме Виета для корней $y_1$ и $y_2$ имеем:

$\begin{cases} y_1 + y_2 = 17 \\ y_1 \cdot y_2 = 30 \end{cases}$

Так как произведение ($30$) и сумма ($17$) корней положительны, оба корня являются положительными. Подбираем пары положительных множителей числа $30$. Сумма, равная $17$, получается для пары чисел $2$ и $15$.

Ответ: $2; 15$.

ж) $t^2 + 12t + 32 = 0$

По теореме Виета для корней $t_1$ и $t_2$ имеем:

$\begin{cases} t_1 + t_2 = -12 \\ t_1 \cdot t_2 = 32 \end{cases}$

Так как произведение корней положительно ($32$), а сумма отрицательна ($-12$), оба корня являются отрицательными. Подбираем пары отрицательных множителей числа $32$. Сумма, равная $-12$, получается для пары чисел $-4$ и $-8$.

Ответ: $-8; -4$.

з) $u^2 - 15u + 50 = 0$

По теореме Виета для корней $u_1$ и $u_2$ имеем:

$\begin{cases} u_1 + u_2 = 15 \\ u_1 \cdot u_2 = 50 \end{cases}$

Так как произведение ($50$) и сумма ($15$) корней положительны, оба корня являются положительными. Подбираем пары положительных множителей числа $50$. Сумма, равная $15$, получается для пары чисел $5$ и $10$.

Ответ: $5; 10$.