Номер 3.93, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.93, страница 143.

Условие.

3.93 Все данные уравнения имеют корни. В каждом случае объясните, почему уравнение имеет корни разных знаков. Определите, какой из корней больше по модулю — положительный или отрицательный:

а) $x^2 + 5x - 6 = 0;$

б) $x^2 - 5x - 6 = 0;$

в) $x^2 + 4x - 21 = 0;$

г) $x^2 - 4x - 21 = 0;$

д) $x^2 - 2x - 3 = 0;$

е) $x^2 + 2x - 3 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для анализа корней приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, для корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$.
• Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.

Уравнение имеет корни разных знаков, если их произведение отрицательно, то есть $x_1 \cdot x_2 < 0$. Из теоремы Виета следует, что для этого необходимо и достаточно, чтобы свободный член $q$ был отрицательным ($q < 0$). Во всех представленных уравнениях свободный член отрицателен, поэтому все они имеют корни разных знаков.

Чтобы определить, какой из корней (положительный или отрицательный) больше по модулю, рассмотрим их сумму $x_1 + x_2 = -p$.

• Если сумма корней положительна ($x_1 + x_2 > 0$), значит, положительный корень по модулю больше отрицательного. Это происходит, когда $-p > 0$, то есть $p < 0$.
• Если сумма корней отрицательна ($x_1 + x_2 < 0$), значит, отрицательный корень по модулю больше положительного. Это происходит, когда $-p < 0$, то есть $p > 0$.

Применим эти рассуждения к каждому уравнению.

а) $x^2 + 5x - 6 = 0$

Свободный член $q = -6 < 0$, следовательно, корни имеют разные знаки.

Второй коэффициент $p = 5 > 0$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -5$ отрицательна. Это означает, что отрицательный корень по модулю больше положительного.

Ответ: отрицательный корень больше по модулю.

б) $x^2 - 5x - 6 = 0$

Свободный член $q = -6 < 0$, следовательно, корни имеют разные знаки.

Второй коэффициент $p = -5 < 0$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -(-5) = 5$ положительна. Это означает, что положительный корень по модулю больше отрицательного.

Ответ: положительный корень больше по модулю.

в) $x^2 + 4x - 21 = 0$

Свободный член $q = -21 < 0$, следовательно, корни имеют разные знаки.

Второй коэффициент $p = 4 > 0$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -4$ отрицательна. Это означает, что отрицательный корень по модулю больше положительного.

Ответ: отрицательный корень больше по модулю.

г) $x^2 - 4x - 21 = 0$

Свободный член $q = -21 < 0$, следовательно, корни имеют разные знаки.

Второй коэффициент $p = -4 < 0$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -(-4) = 4$ положительна. Это означает, что положительный корень по модулю больше отрицательного.

Ответ: положительный корень больше по модулю.

д) $x^2 - 2x - 3 = 0$

Свободный член $q = -3 < 0$, следовательно, корни имеют разные знаки.

Второй коэффициент $p = -2 < 0$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -(-2) = 2$ положительна. Это означает, что положительный корень по модулю больше отрицательного.

Ответ: положительный корень больше по модулю.

е) $x^2 + 2x - 3 = 0$

Свободный член $q = -3 < 0$, следовательно, корни имеют разные знаки.

Второй коэффициент $p = 2 > 0$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -2$ отрицательна. Это означает, что отрицательный корень по модулю больше положительного.

Ответ: отрицательный корень больше по модулю.