Номер 3.98, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.98, страница 144.

Условие.

3.98 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Для составления квадратного уравнения, имеющего корни 8 и 7, можно применить два способа:

1) составить произведение $(x - 8)(x - 7)=0$, откуда получаем уравнение $x^2 - 15x + 56 = 0$;

2) использовать формулы Виета: $x^2 - (8 + 7)x + 8 \cdot 7 = 0$, откуда получаем то же уравнение $x^2 - 15x + 56 = 0$.

Составьте двумя способами квадратное уравнение, имеющее корни:

а) 11 и 4;

б) -4 и -5;

в) -10 и 2;

г) -1 и 15.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Корни уравнения: $x_1 = 11$ и $x_2 = 4$.

1-й способ (через разложение на множители):

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения, то его можно записать в виде $(x - x_1)(x - x_2) = 0$.

Подставим наши корни: $(x - 11)(x - 4) = 0$.

Раскроем скобки: $x^2 - 4x - 11x + 11 \cdot 4 = 0$.

Приведем подобные слагаемые: $x^2 - 15x + 44 = 0$.

2-й способ (по формулам Виета):

Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ справедливы формулы Виета: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$.

Отсюда следует, что уравнение можно составить по формуле $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = 11 + 4 = 15$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = 11 \cdot 4 = 44$.

Подставим найденные значения в формулу: $x^2 - (15)x + 44 = 0$.

Получаем уравнение: $x^2 - 15x + 44 = 0$.

Ответ: $x^2 - 15x + 44 = 0$.

б) Корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = -5$.

1-й способ (через разложение на множители):

Подставим корни в формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$:

$(x - (-4))(x - (-5)) = 0$

$(x + 4)(x + 5) = 0$

Раскроем скобки: $x^2 + 5x + 4x + 20 = 0$.

Приведем подобные слагаемые: $x^2 + 9x + 20 = 0$.

2-й способ (по формулам Виета):

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = -4 + (-5) = -9$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot (-5) = 20$.

Подставим в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$:

$x^2 - (-9)x + 20 = 0$

Получаем уравнение: $x^2 + 9x + 20 = 0$.

Ответ: $x^2 + 9x + 20 = 0$.

в) Корни уравнения: $x_1 = -10$ и $x_2 = 2$.

1-й способ (через разложение на множители):

Подставим корни в формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$:

$(x - (-10))(x - 2) = 0$

$(x + 10)(x - 2) = 0$

Раскроем скобки: $x^2 - 2x + 10x - 20 = 0$.

Приведем подобные слагаемые: $x^2 + 8x - 20 = 0$.

2-й способ (по формулам Виета):

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = -10 + 2 = -8$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-10) \cdot 2 = -20$.

Подставим в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$:

$x^2 - (-8)x + (-20) = 0$

Получаем уравнение: $x^2 + 8x - 20 = 0$.

Ответ: $x^2 + 8x - 20 = 0$.

г) Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 15$.

1-й способ (через разложение на множители):

Подставим корни в формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$:

$(x - (-1))(x - 15) = 0$

$(x + 1)(x - 15) = 0$

Раскроем скобки: $x^2 - 15x + x - 15 = 0$.

Приведем подобные слагаемые: $x^2 - 14x - 15 = 0$.

2-й способ (по формулам Виета):

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = -1 + 15 = 14$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-1) \cdot 15 = -15$.

Подставим в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$:

$x^2 - (14)x + (-15) = 0$

Получаем уравнение: $x^2 - 14x - 15 = 0$.

Ответ: $x^2 - 14x - 15 = 0$.