Номер 3.103, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.103, страница 145.

Условие.

3.103 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Найдем все целые значения $p$, при которых уравнение $x^2 + px + 15 = 0$ имеет целые корни.

Решение. Найдем все пары целых чисел, произведение которых равно 15:

$15 = 1 \cdot 15 = 3 \cdot 5 = (-1) \cdot (-15) = (-3) \cdot (-5).$

Соответствующие значения $p$ равны $-16, -8; 16, 8.$

Найдите все целые значения $p$, при которых данное уравнение имеет целые корни:

а) $x^2 + px + 15 = 0;$

б) $x^2 + px - 15 = 0;$

в) $x^2 + px + 12 = 0;$

г) $x^2 + px - 12 = 0;$

д) $x^2 + px + 10 = 0;$

е) $x^2 + px - 8 = 0;$

ж) $x^2 + px + 3 = 0;$

з) $x^2 + px - 32 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) В уравнении $x^2 + px + 15 = 0$ по теореме Виета для целых корней $x_1, x_2$ выполняется: $x_1 \cdot x_2 = 15$ и $x_1 + x_2 = -p$.
Пары целых множителей для числа 15: $(1; 15)$, $(3; 5)$, $(-1; -15)$, $(-3; -5)$.
Находим соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
Для пары $(1; 15)$: $p = -(1+15) = -16$.
Для пары $(3; 5)$: $p = -(3+5) = -8$.
Для пары $(-1; -15)$: $p = -(-1-15) = 16$.
Для пары $(-3; -5)$: $p = -(-3-5) = 8$.
Ответ: $-16, -8, 8, 16$.

б) В уравнении $x^2 + px - 15 = 0$ по теореме Виета для целых корней $x_1, x_2$ выполняется: $x_1 \cdot x_2 = -15$ и $x_1 + x_2 = -p$.
Пары целых множителей для числа -15: $(1; -15)$, $(-1; 15)$, $(3; -5)$, $(-3; 5)$.
Находим соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
Для пары $(1; -15)$: $p = -(1-15) = 14$.
Для пары $(-1; 15)$: $p = -(-1+15) = -14$.
Для пары $(3; -5)$: $p = -(3-5) = 2$.
Для пары $(-3; 5)$: $p = -(-3+5) = -2$.
Ответ: $-14, -2, 2, 14$.

в) В уравнении $x^2 + px + 12 = 0$ по теореме Виета для целых корней $x_1, x_2$ выполняется: $x_1 \cdot x_2 = 12$ и $x_1 + x_2 = -p$.
Пары целых множителей для числа 12: $(1; 12)$, $(2; 6)$, $(3; 4)$, $(-1; -12)$, $(-2; -6)$, $(-3; -4)$.
Находим соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1+12) = -13$; $p = -(2+6) = -8$; $p = -(3+4) = -7$.
$p = -(-1-12) = 13$; $p = -(-2-6) = 8$; $p = -(-3-4) = 7$.
Ответ: $-13, -8, -7, 7, 8, 13$.

г) В уравнении $x^2 + px - 12 = 0$ по теореме Виета для целых корней $x_1, x_2$ выполняется: $x_1 \cdot x_2 = -12$ и $x_1 + x_2 = -p$.
Пары целых множителей для числа -12: $(1; -12)$, $(-1; 12)$, $(2; -6)$, $(-2; 6)$, $(3; -4)$, $(-3; 4)$.
Находим соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1-12) = 11$; $p = -(-1+12) = -11$.
$p = -(2-6) = 4$; $p = -(-2+6) = -4$.
$p = -(3-4) = 1$; $p = -(-3+4) = -1$.
Ответ: $-11, -4, -1, 1, 4, 11$.

д) В уравнении $x^2 + px + 10 = 0$ по теореме Виета для целых корней $x_1, x_2$ выполняется: $x_1 \cdot x_2 = 10$ и $x_1 + x_2 = -p$.
Пары целых множителей для числа 10: $(1; 10)$, $(2; 5)$, $(-1; -10)$, $(-2; -5)$.
Находим соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1+10) = -11$; $p = -(2+5) = -7$.
$p = -(-1-10) = 11$; $p = -(-2-5) = 7$.
Ответ: $-11, -7, 7, 11$.

е) В уравнении $x^2 + px - 8 = 0$ по теореме Виета для целых корней $x_1, x_2$ выполняется: $x_1 \cdot x_2 = -8$ и $x_1 + x_2 = -p$.
Пары целых множителей для числа -8: $(1; -8)$, $(-1; 8)$, $(2; -4)$, $(-2; 4)$.
Находим соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1-8) = 7$; $p = -(-1+8) = -7$.
$p = -(2-4) = 2$; $p = -(-2+4) = -2$.
Ответ: $-7, -2, 2, 7$.

ж) В уравнении $x^2 + px + 3 = 0$ по теореме Виета для целых корней $x_1, x_2$ выполняется: $x_1 \cdot x_2 = 3$ и $x_1 + x_2 = -p$.
Пары целых множителей для числа 3: $(1; 3)$, $(-1; -3)$.
Находим соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1+3) = -4$; $p = -(-1-3) = 4$.
Ответ: $-4, 4$.

з) В уравнении $x^2 + px - 32 = 0$ по теореме Виета для целых корней $x_1, x_2$ выполняется: $x_1 \cdot x_2 = -32$ и $x_1 + x_2 = -p$.
Пары целых множителей для числа -32: $(1; -32)$, $(-1; 32)$, $(2; -16)$, $(-2; 16)$, $(4; -8)$, $(-4; 8)$.
Находим соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1-32) = 31$; $p = -(-1+32) = -31$.
$p = -(2-16) = 14$; $p = -(-2+16) = -14$.
$p = -(4-8) = 4$; $p = -(-4+8) = -4$.
Ответ: $-31, -14, -4, 4, 14, 31$.