Номер 3.106, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.106, страница 146.

Условие.

Ищем способ решения (3.106–3.107)

3.106 Составьте квадратное уравнение, если известно, что:

а) $x_1x_2 = 12$, $x_1^2 + x_2^2 = 40$;

б) $x_1x_2 = -3$, $x_1^2 + x_2^2 = 10$.

Указание. Найдите сумму корней уравнения, воспользовавшись формулой квадрата суммы двух чисел.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для составления приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни, воспользуемся теоремой Виета. Согласно ей, сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1x_2 = q$. Таким образом, уравнение можно записать в виде $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$. В задаче дано произведение корней $x_1x_2$ и сумма их квадратов $x_1^2 + x_2^2$. Для нахождения суммы корней $x_1 + x_2$ используем формулу квадрата суммы, как указано в условии: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$, которую можно переписать как $(x_1 + x_2)^2 = (x_1^2 + x_2^2) + 2(x_1x_2)$.

а)

По условию нам дано: $x_1x_2 = 12$ и $x_1^2 + x_2^2 = 40$.
Найдем сумму корней. Сначала вычислим ее квадрат, используя известную формулу: $(x_1 + x_2)^2 = (x_1^2 + x_2^2) + 2(x_1x_2) = 40 + 2 \cdot 12 = 40 + 24 = 64$.
Из этого следует, что сумма корней может принимать два значения: $x_1 + x_2 = \sqrt{64} = 8$ или $x_1 + x_2 = -\sqrt{64} = -8$.
Это означает, что условию задачи удовлетворяют два различных квадратных уравнения.

1. Если сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а их произведение $x_1x_2 = 12$, то уравнение имеет вид: $x^2 - (8)x + 12 = 0$, то есть $x^2 - 8x + 12 = 0$.

2. Если сумма корней $x_1 + x_2 = -8$, а их произведение $x_1x_2 = 12$, то уравнение имеет вид: $x^2 - (-8)x + 12 = 0$, то есть $x^2 + 8x + 12 = 0$.

Ответ: $x^2 - 8x + 12 = 0$ или $x^2 + 8x + 12 = 0$.

б)

По условию нам дано: $x_1x_2 = -3$ и $x_1^2 + x_2^2 = 10$.
Аналогично пункту а), найдем квадрат суммы корней: $(x_1 + x_2)^2 = (x_1^2 + x_2^2) + 2(x_1x_2) = 10 + 2 \cdot (-3) = 10 - 6 = 4$.
Следовательно, сумма корней может принимать два значения: $x_1 + x_2 = \sqrt{4} = 2$ или $x_1 + x_2 = -\sqrt{4} = -2$.
Это также приводит к двум возможным уравнениям.

1. Если сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а их произведение $x_1x_2 = -3$, то уравнение имеет вид: $x^2 - (2)x + (-3) = 0$, то есть $x^2 - 2x - 3 = 0$.

2. Если сумма корней $x_1 + x_2 = -2$, а их произведение $x_1x_2 = -3$, то уравнение имеет вид: $x^2 - (-2)x + (-3) = 0$, то есть $x^2 + 2x - 3 = 0$.

Ответ: $x^2 - 2x - 3 = 0$ или $x^2 + 2x - 3 = 0$.