Номер 3.109, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.109, страница 149.

Условие.

3.109 Найдите корни квадратного трёхчлена:

а) $x^2 - 15x + 50;$

б) $2x^2 + 9x + 4;$

в) $3x^2 - 2x - 1;$

г) $x^2 + 14x + 48.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$, необходимо решить соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Корни этого уравнения можно найти по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ – дискриминант.

а) $x^2 - 15x + 50$

Приравняем трёхчлен к нулю, чтобы найти его корни: $x^2 - 15x + 50 = 0$.

Это приведённое квадратное уравнение (коэффициент при $x^2$ равен 1). Можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней $x_1 + x_2$ равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену:
$x_1 + x_2 = 15$
$x_1 \cdot x_2 = 50$

Методом подбора находим, что числа 5 и 10 удовлетворяют этим условиям: $5 + 10 = 15$ и $5 \cdot 10 = 50$.

Также можно найти корни через дискриминант. Здесь $a=1, b=-15, c=50$:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 225 - 200 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{-(-15) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{15 \pm 5}{2}$.
$x_1 = \frac{15 + 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
$x_2 = \frac{15 - 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Ответ: 5; 10.

б) $2x^2 + 9x + 4$

Приравняем трёхчлен к нулю: $2x^2 + 9x + 4 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=2, b=9, c=4$.
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$.

Находим корни по формуле:
$x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 \pm 7}{4}$.
$x_1 = \frac{-9 + 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.
$x_2 = \frac{-9 - 7}{4} = \frac{-16}{4} = -4$.

Ответ: -4; -0,5.

в) $3x^2 - 2x - 1$

Приравняем трёхчлен к нулю: $3x^2 - 2x - 1 = 0$.

Решим уравнение через дискриминант. Коэффициенты: $a=3, b=-2, c=-1$.
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Находим корни:
$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6}$.
$x_1 = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
$x_2 = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$; 1.

г) $x^2 + 14x + 48$

Приравняем трёхчлен к нулю: $x^2 + 14x + 48 = 0$.

Это приведённое квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:
$x_1 + x_2 = -14$
$x_1 \cdot x_2 = 48$

Подбираем два числа. Так как их произведение положительно, а сумма отрицательна, оба корня должны быть отрицательными. Подходят числа -6 и -8:
$(-6) + (-8) = -14$
$(-6) \cdot (-8) = 48$

Проверим решение через дискриминант. Коэффициенты: $a=1, b=14, c=48$.
$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4$.
$x_{1,2} = \frac{-14 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 \pm 2}{2}$.
$x_1 = \frac{-14 + 2}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.
$x_2 = \frac{-14 - 2}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

Ответ: -8; -6.