Номер 3.116, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.116, страница 150.

Условие.

3.116 Сократите дробь:

a) $\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 5x}$;

б) $\frac{a^2 - 9}{a^2 + 8a + 15}$;

в) $\frac{y^2 - 7y + 12}{2y^2 - 8y}$;

г) $\frac{b^2 - 25}{b^2 - 8b + 15}$;

д) $\frac{m^2 - 2m - 8}{m^2 + 4m + 4}$;

е) $\frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 5n + 4}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2+6x+5}{x^2+5x}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.
Разложим числитель $x^2+6x+5$. Это квадратный трехчлен. Для его разложения на множители найдем корни уравнения $x^2+6x+5=0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2=-6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2=5$. Отсюда находим корни: $x_1=-1$ и $x_2=-5$.
Таким образом, числитель можно представить в виде $x^2+6x+5 = (x-(-1))(x-(-5)) = (x+1)(x+5)$.
Разложим знаменатель $x^2+5x$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x+5)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{(x+1)(x+5)}{x(x+5)}$.
Сократим общий множитель $(x+5)$ (при условии, что $x+5 \neq 0$, то есть $x \neq -5$):
$\frac{(x+1)\sout{(x+5)}}{x\sout{(x+5)}} = \frac{x+1}{x}$.
Ответ: $\frac{x+1}{x}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{a^2-9}{a^2+8a+15}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $a^2-9$ является разностью квадратов $a^2-3^2$. По формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, получаем: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.
Знаменатель $a^2+8a+15$ — это квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $a^2+8a+15=0$. По теореме Виета, $a_1+a_2=-8$ и $a_1 \cdot a_2=15$. Корни: $a_1=-3$ и $a_2=-5$.
Следовательно, $a^2+8a+15 = (a-(-3))(a-(-5)) = (a+3)(a+5)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a-3)(a+3)}{(a+3)(a+5)}$.
Сократим общий множитель $(a+3)$ (при условии, что $a \neq -3$):
$\frac{(a-3)\sout{(a+3)}}{\sout{(a+3)}(a+5)} = \frac{a-3}{a+5}$.
Ответ: $\frac{a-3}{a+5}$

в) Рассмотрим дробь $\frac{y^2-7y+12}{2y^2-8y}$. Разложим числитель и знаменатель.
Числитель $y^2-7y+12$ — квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $y^2-7y+12=0$. По теореме Виета, $y_1+y_2=7$ и $y_1 \cdot y_2=12$. Корни: $y_1=3$ и $y_2=4$.
Значит, $y^2-7y+12 = (y-3)(y-4)$.
В знаменателе $2y^2-8y$ вынесем общий множитель $2y$ за скобки: $2y(y-4)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(y-3)(y-4)}{2y(y-4)}$.
Сократим общий множитель $(y-4)$ (при условии, что $y \neq 4$):
$\frac{(y-3)\sout{(y-4)}}{2y\sout{(y-4)}} = \frac{y-3}{2y}$.
Ответ: $\frac{y-3}{2y}$

г) Рассмотрим дробь $\frac{b^2-25}{b^2-8b+15}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $b^2-25$ — это разность квадратов $b^2-5^2$. По формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ получаем: $b^2-25 = (b-5)(b+5)$.
Знаменатель $b^2-8b+15$ — квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $b^2-8b+15=0$. По теореме Виета, $b_1+b_2=8$ и $b_1 \cdot b_2=15$. Корни: $b_1=3$ и $b_2=5$.
Значит, $b^2-8b+15 = (b-3)(b-5)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(b-5)(b+5)}{(b-3)(b-5)}$.
Сократим общий множитель $(b-5)$ (при условии, что $b \neq 5$):
$\frac{\sout{(b-5)}(b+5)}{(b-3)\sout{(b-5)}} = \frac{b+5}{b-3}$.
Ответ: $\frac{b+5}{b-3}$

д) Рассмотрим дробь $\frac{m^2-2m-8}{m^2+4m+4}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $m^2-2m-8$ — квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $m^2-2m-8=0$. По теореме Виета, $m_1+m_2=2$ и $m_1 \cdot m_2=-8$. Корни: $m_1=4$ и $m_2=-2$.
Следовательно, $m^2-2m-8 = (m-4)(m-(-2)) = (m-4)(m+2)$.
Знаменатель $m^2+4m+4$ является полным квадратом. По формуле квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, получаем: $m^2+4m+4 = (m+2)^2$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(m-4)(m+2)}{(m+2)^2}$.
Сократим общий множитель $(m+2)$ (при условии, что $m \neq -2$):
$\frac{(m-4)\sout{(m+2)}}{{(m+2)}^\sout{2}} = \frac{m-4}{m+2}$.
Ответ: $\frac{m-4}{m+2}$

е) Рассмотрим дробь $\frac{n^2+2n+1}{n^2+5n+4}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $n^2+2n+1$ — это полный квадрат. По формуле квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, получаем: $n^2+2n+1 = (n+1)^2$.
Знаменатель $n^2+5n+4$ — квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $n^2+5n+4=0$. По теореме Виета, $n_1+n_2=-5$ и $n_1 \cdot n_2=4$. Корни: $n_1=-1$ и $n_2=-4$.
Следовательно, $n^2+5n+4 = (n-(-1))(n-(-4)) = (n+1)(n+4)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+4)}$.
Сократим общий множитель $(n+1)$ (при условии, что $n \neq -1$):
$\frac{{(n+1)}^\sout{2}}{\sout{(n+1)}(n+4)} = \frac{n+1}{n+4}$.
Ответ: $\frac{n+1}{n+4}$