Номер 3.121, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.121, страница 151.

Условие.

3.121 Найдите значение $k$, при котором:

а) разложение на множители трёхчлена $2x^2 + 5x + k$ содержит множитель $(x + 3)$;

б) разложение на множители трёхчлена $3x^2 - 8x + k$ содержит множитель $(x - 2)$;

в) разложение на множители трёхчлена $-4x^2 + kx + 1$ содержит множитель $(x - 1)$;

г) разложение на множители трёхчлена $2x^2 - 5x + k$ содержит множитель $(2x + 3)$;

д) разложение на множители трёхчлена $4x^2 - 8x + k$ содержит множитель $(2x - 1)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Если разложение на множители трёхчлена $2x^2 + 5x + k$ содержит множитель $(x + 3)$, это означает, что $x = -3$ является корнем данного трёхчлена. Согласно теореме Безу, при подстановке корня в многочлен, результат должен быть равен нулю. Подставим $x = -3$ в выражение и решим уравнение относительно $k$:
$2(-3)^2 + 5(-3) + k = 0$
$2 \cdot 9 - 15 + k = 0$
$18 - 15 + k = 0$
$3 + k = 0$
$k = -3$
Ответ: $k = -3$.

б) Если разложение на множители трёхчлена $3x^2 - 8x + k$ содержит множитель $(x - 2)$, то $x = 2$ является корнем этого трёхчлена. Подставим $x = 2$ в выражение и приравняем его к нулю:
$3(2)^2 - 8(2) + k = 0$
$3 \cdot 4 - 16 + k = 0$
$12 - 16 + k = 0$
$-4 + k = 0$
$k = 4$
Ответ: $k = 4$.

в) Если разложение на множители трёхчлена $-4x^2 + kx + 1$ содержит множитель $(x - 1)$, то $x = 1$ является корнем этого трёхчлена. Подставим $x = 1$ в выражение и приравняем его к нулю:
$-4(1)^2 + k(1) + 1 = 0$
$-4 + k + 1 = 0$
$k - 3 = 0$
$k = 3$
Ответ: $k = 3$.

г) Если разложение на множители трёхчлена $2x^2 - 5x + k$ содержит множитель $(2x + 3)$, то корень этого множителя $x = -3/2$ (решение уравнения $2x+3=0$) является и корнем самого трёхчлена. Подставим $x = -3/2$ в выражение:
$2(-3/2)^2 - 5(-3/2) + k = 0$
$2 \cdot (9/4) + 15/2 + k = 0$
$9/2 + 15/2 + k = 0$
$24/2 + k = 0$
$12 + k = 0$
$k = -12$
Ответ: $k = -12$.

д) Если разложение на множители трёхчлена $4x^2 - 8x + k$ содержит множитель $(2x - 1)$, то корень этого множителя $x = 1/2$ (решение уравнения $2x-1=0$) является и корнем самого трёхчлена. Подставим $x = 1/2$ в выражение:
$4(1/2)^2 - 8(1/2) + k = 0$
$4 \cdot (1/4) - 4 + k = 0$
$1 - 4 + k = 0$
$-3 + k = 0$
$k = 3$
Ответ: $k = 3$.