Номер 3.127, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами (Узнайте больше). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.127, страница 154.

Условие.

3.127 Найдите корни квадратного уравнения, не пользуясь формулой корней:

а) $2x^2 - 3x + 1 = 0;$

в) $3x^2 - 10x - 8 = 0;$

б) $4x^2 + 7x + 3 = 0;$

г) $3x^2 + 5x - 2 = 0.$

Указание. Сначала найдите целый корень уравнения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $2x^2 - 3x + 1 = 0$

Согласно указанию, сначала найдем целый корень уравнения. По теореме о рациональных корнях, если у приведенного квадратного уравнения есть целый корень, то он является делителем свободного члена. Для неприведенного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ целый корень является делителем свободного члена $c$.

В данном уравнении свободный член $c=1$. Его целые делители: $\pm 1$.

Проверим $x=1$, подставив это значение в уравнение:

$2(1)^2 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$.

Равенство выполняется, следовательно, $x_1 = 1$ является первым корнем уравнения.

Второй корень $x_2$ найдем с помощью теоремы Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

В нашем случае $a=2$ и $c=1$, поэтому $x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2}$.

Подставим известный корень $x_1 = 1$:

$1 \cdot x_2 = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $1; \frac{1}{2}$.

б) $4x^2 + 7x + 3 = 0$

Найдем целый корень. Он должен быть делителем свободного члена $c=3$. Целые делители числа 3: $\pm 1, \pm 3$.

Проверим $x=-1$:

$4(-1)^2 + 7(-1) + 3 = 4 - 7 + 3 = 0$.

Равенство верное, значит, $x_1 = -1$ — первый корень.

По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Для данного уравнения $a=4$ и $c=3$, поэтому $x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{4}$.

Подставим $x_1 = -1$:

$(-1) \cdot x_2 = \frac{3}{4}$

$x_2 = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-1; -\frac{3}{4}$.

в) $3x^2 - 10x - 8 = 0$

Ищем целый корень среди делителей свободного члена $c=-8$. Делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.

Проверим $x=4$:

$3(4)^2 - 10(4) - 8 = 3 \cdot 16 - 40 - 8 = 48 - 40 - 8 = 0$.

Следовательно, $x_1 = 4$ — один из корней.

По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Здесь $a=3, c=-8$, так что $x_1 \cdot x_2 = \frac{-8}{3}$.

Подставим известный корень $x_1 = 4$:

$4 \cdot x_2 = -\frac{8}{3}$

$x_2 = \frac{-8}{3 \cdot 4} = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $4; -\frac{2}{3}$.

г) $3x^2 + 5x - 2 = 0$

Найдем целый корень среди делителей свободного члена $c=-2$. Делители: $\pm 1, \pm 2$.

Проверим $x=-2$:

$3(-2)^2 + 5(-2) - 2 = 3 \cdot 4 - 10 - 2 = 12 - 12 = 0$.

Таким образом, $x_1 = -2$ — первый корень.

По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

В данном случае $a=3, c=-2$, поэтому $x_1 \cdot x_2 = \frac{-2}{3}$.

Подставим $x_1 = -2$:

$(-2) \cdot x_2 = -\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-2/3}{-2} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $-2; \frac{1}{3}$.