Номер 3.131, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами (Узнайте больше). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.131, страница 155.

Условие.

3.131 Определите степень уравнения

$(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0.$

Выведите формулы Виета для этого уравнения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Определите степень уравнения

Исходное уравнение: $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$.

Степенью уравнения называется наибольшая степень переменной $x$ в его полиномиальном (раскрытом) виде. Чтобы определить степень, необходимо раскрыть скобки в левой части уравнения.

1. Сначала перемножим первые две скобки:
$(x - x_1)(x - x_2) = x \cdot x - x \cdot x_2 - x_1 \cdot x + x_1 \cdot x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$.

2. Теперь умножим полученный результат на третью скобку $(x - x_3)$:
$(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)(x - x_3) = x \cdot (x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) - x_3 \cdot (x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)$
$= x^3 - (x_1 + x_2)x^2 + x_1x_2x - x_3x^2 + (x_1 + x_2)x_3x - x_1x_2x_3$.

3. Сгруппируем члены с одинаковыми степенями $x$:
$x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3 = 0$.

Наибольшая степень переменной $x$ в полученном уравнении равна 3. Следовательно, это уравнение третьей степени.

Ответ: Степень уравнения равна 3.

Выведите формулы Виета для этого уравнения

Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с его корнями. Корнями данного уравнения $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$ являются числа $x_1, x_2, x_3$.

Как мы вывели в предыдущем пункте, раскрыв скобки, уравнение можно записать в виде:
$x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3 = 0$.

Рассмотрим общее приведённое кубическое уравнение с корнями $x_1, x_2, x_3$:
$x^3 + p_2x^2 + p_1x + p_0 = 0$.

Согласно теореме Виета, для этого уравнения справедливы следующие соотношения:
$x_1 + x_2 + x_3 = -p_2$
$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = p_1$
$x_1x_2x_3 = -p_0$

Сравнивая коэффициенты нашего уравнения с коэффициентами общего уравнения, получаем:
- Коэффициент при $x^2$: $p_2 = -(x_1 + x_2 + x_3)$
- Коэффициент при $x$: $p_1 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$
- Свободный член: $p_0 = -x_1x_2x_3$

Из этих равенств мы непосредственно выводим формулы Виета, которые выражают симметрические многочлены от корней через коэффициенты $p_2, p_1, p_0$:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -p_2$.
2. Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = p_1$.
3. Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -p_0$.

Ответ: Формулы Виета для данного уравнения, выражающие связь его корней $x_1, x_2, x_3$ с коэффициентами приведённого многочлена $x^3 + p_2x^2 + p_1x + p_0 = 0$, имеют вид:
$p_2 = -(x_1 + x_2 + x_3)$
$p_1 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$
$p_0 = -x_1x_2x_3$