Номер 3.124, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.124, страница 151.

Условие.

3.124 a) $x^4 - 5x^2 + 4$;

б) $m^4 - 13m^2 + 36$;

в) $4x^4 - 32x^2$;

г) $3x^4 - 75$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Данный многочлен $x^4 - 5x^2 + 4$ является биквадратным. Для его разложения на множители введем замену переменной. Пусть $y = x^2$, тогда выражение примет вид квадратного трехчлена: $y^2 - 5y + 4$.

Найдем корни уравнения $y^2 - 5y + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корнями являются $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$. Это позволяет разложить квадратный трехчлен на множители: $(y - 1)(y - 4)$.

Выполним обратную замену $y = x^2$, получим: $(x^2 - 1)(x^2 - 4)$.

Оба множителя в полученном выражении представляют собой разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к каждому из них:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Таким образом, окончательное разложение на множители: $(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

б)

Многочлен $m^4 - 13m^2 + 36$ также является биквадратным. Сделаем замену $y = m^2$. Выражение преобразуется в квадратный трехчлен: $y^2 - 13y + 36$.

Найдем корни уравнения $y^2 - 13y + 36 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а произведение — 36. Корнями являются $y_1 = 4$ и $y_2 = 9$. Разложим трехчлен на множители: $(y - 4)(y - 9)$.

Произведем обратную замену $y = m^2$: $(m^2 - 4)(m^2 - 9)$.

Оба множителя являются разностью квадратов. Разложим их по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$m^2 - 4 = (m - 2)(m + 2)$
$m^2 - 9 = (m - 3)(m + 3)$

Окончательное разложение на множители: $(m - 2)(m + 2)(m - 3)(m + 3)$.

Ответ: $(m - 2)(m + 2)(m - 3)(m + 3)$

в)

Для разложения на множители выражения $4x^4 - 32x^2$ вынесем за скобки общий множитель $4x^2$:

$4x^4 - 32x^2 = 4x^2(x^2 - 8)$.

Многочлен $x^2 - 8$ не имеет рациональных корней, так как 8 не является полным квадратом рационального числа. Следовательно, он неразложим на множители с рациональными (и целыми) коэффициентами. В таком виде разложение является окончательным.

Ответ: $4x^2(x^2 - 8)$

г)

В выражении $3x^4 - 75$ вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3x^4 - 75 = 3(x^4 - 25)$.

Выражение в скобках $x^4 - 25$ является разностью квадратов $(x^2)^2 - 5^2$. Применим соответствующую формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^4 - 25 = (x^2 - 5)(x^2 + 5)$.

Таким образом, мы получили: $3(x^2 - 5)(x^2 + 5)$.

Многочлены $x^2 - 5$ и $x^2 + 5$ неразложимы над полем рациональных чисел, так как их корни (соответственно $\pm\sqrt{5}$ и $\pm i\sqrt{5}$) не являются рациональными числами.

Ответ: $3(x^2 - 5)(x^2 + 5)$