Номер 3.120, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.120, страница 150.

Условие.

РАССУЖДАЕМ (3.120–3.121)

3.120 Найдите все целые значения $m$, при которых квадратный трёхчлен можно разложить на линейные двучлены с целыми коэффициентами:

a) $c^2 + mc + 10;$

б) $z^2 + mz + 3;$

в) $x^2 + mx - 21;$

г) $y^2 + my - 12.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы квадратный трёхчлен вида $t^2 + mt + k$ можно было разложить на линейные двучлены с целыми коэффициентами, он должен быть представим в виде $(t-t_1)(t-t_2)$, где $t_1$ и $t_2$ — целые числа. Раскрыв скобки в правой части, получаем $t^2 - (t_1+t_2)t + t_1t_2$. Сравнивая коэффициенты этого выражения с исходным трёхчленом, мы приходим к системе уравнений, основанной на теореме Виета для корней $t_1$ и $t_2$ уравнения $t^2+mt+k=0$:

$ \begin{cases} t_1 \cdot t_2 = k \\ t_1 + t_2 = -m \end{cases} $

Отсюда следует, что $m = -(t_1+t_2)$. Таким образом, задача сводится к нахождению всех пар целых чисел $(t_1, t_2)$, произведение которых равно свободному члену $k$, и последующему вычислению их суммы с противоположным знаком.

а) $c^2 + mc + 10$

В данном случае свободный член $k=10$. Нам нужно найти все пары целых чисел $(c_1, c_2)$, произведение которых равно 10, и для каждой пары найти $m = -(c_1+c_2)$.

Пары целых делителей числа 10 и соответствующие значения $m$:

• Если $c_1=1, c_2=10$, то $m = -(1+10) = -11$.
• Если $c_1=-1, c_2=-10$, то $m = -(-1-10) = 11$.
• Если $c_1=2, c_2=5$, то $m = -(2+5) = -7$.
• Если $c_1=-2, c_2=-5$, то $m = -(-2-5) = 7$.

Таким образом, мы нашли все возможные целые значения $m$.

Ответ: $m \in \{-11, -7, 7, 11\}$.

б) $z^2 + mz + 3$

Здесь свободный член $k=3$. Найдём все пары целых чисел $(z_1, z_2)$, произведение которых равно 3.

Пары целых делителей числа 3 и соответствующие значения $m$:

• Если $z_1=1, z_2=3$, то $m = -(1+3) = -4$.
• Если $z_1=-1, z_2=-3$, то $m = -(-1-3) = 4$.

Число 3 является простым, поэтому других пар целых делителей нет.

Ответ: $m \in \{-4, 4\}$.

в) $x^2 + mx - 21$

Свободный член в этом трёхчлене равен $k=-21$. Найдём все пары целых чисел $(x_1, x_2)$, произведение которых равно -21.

Пары целых делителей числа -21 и соответствующие значения $m$:

• Если $x_1=1, x_2=-21$, то $m = -(1-21) = 20$.
• Если $x_1=-1, x_2=21$, то $m = -(-1+21) = -20$.
• Если $x_1=3, x_2=-7$, то $m = -(3-7) = 4$.
• Если $x_1=-3, x_2=7$, то $m = -(-3+7) = -4$.

Это все возможные целые значения для $m$.

Ответ: $m \in \{-20, -4, 4, 20\}$.

г) $y^2 + my - 12$

Свободный член равен $k=-12$. Найдём все пары целых чисел $(y_1, y_2)$, произведение которых равно -12.

Пары целых делителей числа -12 и соответствующие значения $m$:

• Если $y_1=1, y_2=-12$, то $m = -(1-12) = 11$.
• Если $y_1=-1, y_2=12$, то $m = -(-1+12) = -11$.
• Если $y_1=2, y_2=-6$, то $m = -(2-6) = 4$.
• Если $y_1=-2, y_2=6$, то $m = -(-2+6) = -4$.
• Если $y_1=3, y_2=-4$, то $m = -(3-4) = 1$.
• Если $y_1=-3, y_2=4$, то $m = -(-3+4) = -1$.

Все возможные целые значения $m$ найдены.

Ответ: $m \in \{-11, -4, -1, 1, 4, 11\}$.