Номер 3.115, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.115, страница 150.

Условие.

3.115 Покажите, что квадратные трёхчлены $x^2 + 2x - 3$, $2x^2 + 4x - 6$, $-5x^2 - 10x + 15$ имеют одни и те же корни. Разложите эти квадратные трёхчлены на множители.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Покажите, что квадратные трёхчлены $x^2 + 2x - 3$, $2x^2 + 4x - 6$, $-5x^2 - 10x + 15$ имеют одни и те же корни.

Чтобы показать, что данные квадратные трёхчлены имеют одни и те же корни, мы можем найти корни каждого из них или заметить связь между ними.
Пусть первый трёхчлен $P_1(x) = x^2 + 2x - 3$.
Рассмотрим второй трёхчлен: $2x^2 + 4x - 6$. Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2x^2 + 4x - 6 = 2(x^2 + 2x - 3) = 2 \cdot P_1(x)$.
Рассмотрим третий трёхчлен: $-5x^2 - 10x + 15$. Вынесем общий множитель -5 за скобки:
$-5x^2 - 10x + 15 = -5(x^2 + 2x - 3) = -5 \cdot P_1(x)$.
Корни многочлена — это значения $x$, при которых многочлен равен нулю. Таким образом, нам нужно решить три уравнения: $x^2 + 2x - 3 = 0$, $2(x^2 + 2x - 3) = 0$ и $-5(x^2 + 2x - 3) = 0$. Поскольку $2 \neq 0$ и $-5 \neq 0$, все три уравнения равносильны уравнению $x^2 + 2x - 3 = 0$. Это означает, что все три квадратных трёхчлена имеют одни и те же корни.

Найдём эти корни, решив уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта.
Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
Для нашего уравнения $a=1, b=2, c=-3$.
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Формула для нахождения корней: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Таким образом, мы показали, что все три трёхчлена имеют одинаковые корни.
Ответ: Все три трёхчлена имеют корни $x_1=1$ и $x_2=-3$.

Разложите эти квадратные трёхчлены на множители.

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни. Мы уже определили, что корни равны $1$ и $-3$.

1. Для трёхчлена $x^2 + 2x - 3$:
Здесь коэффициент $a=1$. Подставляем значения в формулу:
$x^2 + 2x - 3 = 1 \cdot (x - 1)(x - (-3)) = (x-1)(x+3)$.
Ответ: $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$.

2. Для трёхчлена $2x^2 + 4x - 6$:
Здесь коэффициент $a=2$. Подставляем значения в формулу:
$2x^2 + 4x - 6 = 2 \cdot (x - 1)(x - (-3)) = 2(x-1)(x+3)$.
Ответ: $2x^2 + 4x - 6 = 2(x-1)(x+3)$.

3. Для трёхчлена $-5x^2 - 10x + 15$:
Здесь коэффициент $a=-5$. Подставляем значения в формулу:
$-5x^2 - 10x + 15 = -5 \cdot (x - 1)(x - (-3)) = -5(x-1)(x+3)$.
Ответ: $-5x^2 - 10x + 15 = -5(x-1)(x+3)$.