Номер 3.122, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.122, страница 151.

Условие.

3.122 Сократите дробь:

а) $ \frac{x^3+1}{3x^2+2x-1}; $

Б) $ \frac{x^3-1}{2x^2+x-3}; $

В) $ \frac{1-x^2}{5x^2-4x-1}; $

Г) $ \frac{2x^2-7x+3}{x-2x^2}; $

Д) $ \frac{5+3x-2x^2}{1-x-2x^2}; $

е) $ \frac{3x^2-4x-4}{6-x-x^2}. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{x^3 + 1}{3x^2 + 2x - 1}$

Чтобы сократить дробь, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $x^3 + 1$ — это сумма кубов. Используем формулу $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:
$x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x+1)(x^2 - x + 1)$.
Знаменатель $3x^2 + 2x - 1$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни через дискриминант, решив уравнение $3x^2 + 2x - 1 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.
Разложение квадратного трехчлена: $a(x-x_1)(x-x_2) = 3(x-\frac{1}{3})(x-(-1)) = (3x-1)(x+1)$.
Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{(x+1)(x^2 - x + 1)}{(3x-1)(x+1)} = \frac{x^2 - x + 1}{3x-1}$.

Ответ: $\frac{x^2 - x + 1}{3x-1}$

б) $\frac{x^3 - 1}{2x^2 + x - 3}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^3 - 1$ — это разность кубов. Используем формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:
$x^3 - 1^3 = (x-1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x-1)(x^2 + x + 1)$.
Знаменатель $2x^2 + x - 3$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $2x^2 + x - 3 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Разложение: $2(x-1)(x-(-\frac{3}{2})) = 2(x-1)(x+\frac{3}{2}) = (x-1)(2x+3)$.
Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x-1)(2x+3)} = \frac{x^2 + x + 1}{2x+3}$.

Ответ: $\frac{x^2 + x + 1}{2x+3}$

в) $\frac{1 - x^2}{5x^2 - 4x - 1}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $1 - x^2$ — это разность квадратов: $1 - x^2 = (1-x)(1+x)$.
Знаменатель $5x^2 - 4x - 1$. Решим уравнение $5x^2 - 4x - 1 = 0$.
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.
$x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$.
$x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.
Разложение: $5(x-1)(x-(-\frac{1}{5})) = 5(x-1)(x+\frac{1}{5}) = (x-1)(5x+1)$.
Подставим разложения в дробь. Заметим, что $1-x = -(x-1)$.
$\frac{(1-x)(1+x)}{(x-1)(5x+1)} = \frac{-(x-1)(1+x)}{(x-1)(5x+1)} = -\frac{1+x}{5x+1}$.

Ответ: $-\frac{x+1}{5x+1}$

г) $\frac{2x^2 - 7x + 3}{x - 2x^2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $2x^2 - 7x + 3$. Решим уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
$x_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
$x_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Разложение: $2(x-3)(x-\frac{1}{2}) = (x-3)(2x-1)$.
Знаменатель $x - 2x^2$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(1-2x)$.
Заметим, что $1-2x = -(2x-1)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(x-3)(2x-1)}{x(1-2x)} = \frac{(x-3)(2x-1)}{-x(2x-1)} = \frac{x-3}{-x} = -\frac{x-3}{x} = \frac{3-x}{x}$.

Ответ: $\frac{3-x}{x}$

д) $\frac{5 + 3x - 2x^2}{1 - x - 2x^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $5 + 3x - 2x^2 = -(2x^2 - 3x - 5)$. Решим уравнение $2x^2 - 3x - 5 = 0$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
$x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$.
Разложение числителя: $-2(x-\frac{5}{2})(x-(-1)) = -(2x-5)(x+1) = (5-2x)(x+1)$.
Знаменатель $1 - x - 2x^2 = -(2x^2 + x - 1)$. Решим уравнение $2x^2 + x - 1 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$.
Разложение знаменателя: $-2(x-\frac{1}{2})(x-(-1)) = -(2x-1)(x+1) = (1-2x)(x+1)$.
Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{(5-2x)(x+1)}{(1-2x)(x+1)} = \frac{5-2x}{1-2x}$.

Ответ: $\frac{5-2x}{1-2x}$

е) $\frac{3x^2 - 4x - 4}{6 - x - x^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $3x^2 - 4x - 4$. Решим уравнение $3x^2 - 4x - 4 = 0$.
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$.
$x_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.
$x_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Разложение числителя: $3(x-2)(x-(-\frac{2}{3})) = 3(x-2)(x+\frac{2}{3}) = (x-2)(3x+2)$.
Знаменатель $6 - x - x^2 = -(x^2 + x - 6)$. Решим уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = -3$.
Разложение знаменателя: $-(x-2)(x-(-3)) = -(x-2)(x+3)$.
Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{(x-2)(3x+2)}{-(x-2)(x+3)} = \frac{3x+2}{-(x+3)} = -\frac{3x+2}{x+3}$.

Ответ: $-\frac{3x+2}{x+3}$