Номер 3.128, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами (Узнайте больше). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.128, страница 154.

Условие.

3.128 Найдите целые корни уравнения, если они есть:

а) $30x^2 - 23x - 2 = 0;$

б) $x^3 + 5x^2 - 17x - 21 = 0;$

в) $2x^3 - 5x^2 - 22x - 15 = 0;$

г) $3x^4 - 2x^2 + 3 = 0;$

д) $x^5 - 3x^4 - 5x^3 + 15x^2 + 4x - 12 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения целых корней многочлена с целыми коэффициентами используется теорема о рациональных корнях. Согласно следствию из этой теоремы, если уравнение $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена $a_0$.

а) $30x^2 - 23x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Целые корни, если они существуют, должны быть делителями свободного члена, равного -2. Делители числа -2: $\pm1, \pm2$.

Проверим каждого кандидата:
При $x = 1$: $30(1)^2 - 23(1) - 2 = 30 - 23 - 2 = 5 \neq 0$.
При $x = -1$: $30(-1)^2 - 23(-1) - 2 = 30 + 23 - 2 = 51 \neq 0$.
При $x = 2$: $30(2)^2 - 23(2) - 2 = 120 - 46 - 2 = 72 \neq 0$.
При $x = -2$: $30(-2)^2 - 23(-2) - 2 = 120 + 46 - 2 = 164 \neq 0$.

Ни один из делителей свободного члена не является корнем уравнения. Следовательно, целых корней у уравнения нет.
Также можно решить уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4(30)(-2) = 529 + 240 = 769$.
$x = \frac{23 \pm \sqrt{769}}{60}$.
Так как 769 не является полным квадратом, корни иррациональны.

Ответ: целых корней нет.

б) $x^3 + 5x^2 - 17x - 21 = 0$

Свободный член равен -21. Возможные целые корни — это делители числа -21: $\pm1, \pm3, \pm7, \pm21$.

Проверим подстановкой:
При $x = 1$: $1^3 + 5(1)^2 - 17(1) - 21 = 1 + 5 - 17 - 21 = -32 \neq 0$.
При $x = -1$: $(-1)^3 + 5(-1)^2 - 17(-1) - 21 = -1 + 5 + 17 - 21 = 0$.
Корень $x = -1$ найден.
При $x = 3$: $3^3 + 5(3)^2 - 17(3) - 21 = 27 + 45 - 51 - 21 = 72 - 72 = 0$.
Корень $x = 3$ найден.

Разделим многочлен на $(x+1)$ с помощью схемы Горнера или деления столбиком.
$(x^3 + 5x^2 - 17x - 21) : (x+1) = x^2 + 4x - 21$.
Уравнение принимает вид: $(x+1)(x^2 + 4x - 21) = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + 4x - 21 = 0$. Его можно разложить на множители: $(x+7)(x-3) = 0$. Корни $x = -7$ и $x = 3$.

Таким образом, все корни уравнения: -1, 3, -7. Все они целые.

Ответ: -7, -1, 3.

в) $2x^3 - 5x^2 - 22x - 15 = 0$

Свободный член равен -15. Возможные целые корни — это делители числа -15: $\pm1, \pm3, \pm5, \pm15$.

Проверим подстановкой:
При $x = -1$: $2(-1)^3 - 5(-1)^2 - 22(-1) - 15 = -2 - 5 + 22 - 15 = 0$.
Корень $x = -1$ найден.

Разделим многочлен $2x^3 - 5x^2 - 22x - 15$ на $(x+1)$:
$(2x^3 - 5x^2 - 22x - 15) : (x+1) = 2x^2 - 7x - 15$.
Уравнение принимает вид: $(x+1)(2x^2 - 7x - 15) = 0$.

Решим квадратное уравнение $2x^2 - 7x - 15 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = (-7)^2 - 4(2)(-15) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.
$x = \frac{7 \pm 13}{4}$.
$x_1 = \frac{7+13}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
$x_2 = \frac{7-13}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$.

Корни исходного уравнения: -1, 5, -1.5. Из них целыми являются -1 и 5.

Ответ: -1, 5.

г) $3x^4 - 2x^2 + 3 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$. Так как $x$ — вещественное число, то $y \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $y$: $3y^2 - 2y + 3 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения:
$D = (-2)^2 - 4(3)(3) = 4 - 36 = -32$.

Так как $D < 0$, уравнение $3y^2 - 2y + 3 = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное уравнение не имеет действительных корней. Значит, у него нет и целых корней.

Ответ: целых корней нет.

д) $x^5 - 3x^4 - 5x^3 + 15x^2 + 4x - 12 = 0$

Попробуем разложить левую часть на множители методом группировки:
$(x^5 - 3x^4) - (5x^3 - 15x^2) + (4x - 12) = 0$
$x^4(x - 3) - 5x^2(x - 3) + 4(x - 3) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:
$(x - 3)(x^4 - 5x^2 + 4) = 0$.

Отсюда следует, что либо $x - 3 = 0$, либо $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.
Из первого уравнения получаем корень $x_1 = 3$.

Решим второе уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$):
$y^2 - 5y + 4 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$. Оба корня неотрицательны.

Вернемся к переменной $x$:
1) $x^2 = y_1 = 1 \implies x_{2,3} = \pm 1$.
2) $x^2 = y_2 = 4 \implies x_{4,5} = \pm 2$.

Таким образом, мы нашли пять корней: 3, 1, -1, 2, -2. Все они являются целыми числами.

Ответ: -2, -1, 1, 2, 3.