Номер 3.130, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами (Узнайте больше). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.130, страница 155.

Условие.

3.130 Разложите на множители многочлен:

а) $x^4 - 2x^3 + 2x - 1;$

б) $x^4 + x^3 - 7x^2 - 13x - 6;$

в) $4x^3 + 21x^2 - 25;$

г) $5x^3 + 3x^2 - 5x - 3.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Разложим многочлен $x^4 - 2x^3 + 2x - 1$ на множители, используя метод группировки. Сгруппируем первый и последний члены, а также второй и третий:
$x^4 - 2x^3 + 2x - 1 = (x^4 - 1) - (2x^3 - 2x)$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к первому слагаемому, где $x^4 = (x^2)^2$. Из второго слагаемого вынесем общий множитель $2x$:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1)$
Теперь мы видим общий множитель $(x^2 - 1)$, который можно вынести за скобки:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1 - 2x)$
Выражение во второй скобке является полным квадратом разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$. Выражение в первой скобке снова можно разложить по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Подставим разложенные выражения:
$((x - 1)(x + 1)) \cdot (x - 1)^2$
Объединяя множители $(x - 1)$, получаем итоговый результат:
$(x + 1)(x - 1)^3$
Ответ: $(x + 1)(x - 1)^3$

б)

Для разложения многочлена $P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - 13x - 6$ воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные целые корни являются делителями свободного члена (-6): $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 $.
Проверим их подстановкой:
$P(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 - 7(-1)^2 - 13(-1) - 6 = 1 - 1 - 7 + 13 - 6 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем, а $(x+1)$ — множителем.
$P(-2) = (-2)^4 + (-2)^3 - 7(-2)^2 - 13(-2) - 6 = 16 - 8 - 28 + 26 - 6 = 0$. Значит, $x = -2$ является корнем, а $(x+2)$ — множителем.
$P(3) = (3)^4 + (3)^3 - 7(3)^2 - 13(3) - 6 = 81 + 27 - 63 - 39 - 6 = 0$. Значит, $x = 3$ является корнем, а $(x-3)$ — множителем.
Разделим исходный многочлен на один из найденных множителей, например, на $(x+1)$, используя схему Горнера:
$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & 1 & -7 & -13 & -6 \\ \hline -1 & 1 & 0 & -7 & -6 & 0 \end{array}$
Получаем: $x^4 + x^3 - 7x^2 - 13x - 6 = (x+1)(x^3 - 7x - 6)$.
Теперь разложим многочлен $Q(x) = x^3 - 7x - 6$. Мы уже знаем, что $x=-2$ и $x=3$ его корни. Проверим также $x=-1$:
$Q(-1) = (-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$. Значит, $(x+1)$ является множителем и для $Q(x)$ (корень $x=-1$ имеет кратность 2).
Разделим $x^3 - 7x - 6$ на $(x+1)$:
$\begin{array}{c|cccc} & 1 & 0 & -7 & -6 \\ \hline -1 & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array}$
Получаем: $x^3 - 7x - 6 = (x+1)(x^2 - x - 6)$.
Разложим квадратный трехчлен $x^2 - x - 6$. Его корни легко найти по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -6$ и $x_1 + x_2 = 1$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Следовательно, $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.
Собираем все множители вместе:
$(x+1) \cdot (x+1)(x-3)(x+2) = (x+1)^2(x+2)(x-3)$
Ответ: $(x+1)^2(x+2)(x-3)$

в)

Рассмотрим многочлен $P(x) = 4x^3 + 21x^2 - 25$.
Заметим, что сумма коэффициентов $4 + 21 - 25 = 0$. Это означает, что $x=1$ является корнем многочлена, а $(x-1)$ — его множителем.
Выполним деление многочлена $4x^3 + 21x^2 - 25$ на $(x-1)$ столбиком или по схеме Горнера (вставляя 0 для отсутствующего члена с $x$):
$\begin{array}{c|cccc} & 4 & 21 & 0 & -25 \\ \hline 1 & 4 & 25 & 25 & 0 \end{array}$
Таким образом, $4x^3 + 21x^2 - 25 = (x-1)(4x^2 + 25x + 25)$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $4x^2 + 25x + 25$. Для этого найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 25^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 625 - 400 = 225 = 15^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-40}{8} = -5$
Следовательно, разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$4x^2 + 25x + 25 = 4(x - (-5))(x - (-\frac{5}{4})) = 4(x+5)(x+\frac{5}{4}) = (x+5)(4(x+\frac{5}{4})) = (x+5)(4x+5)$
Итоговое разложение исходного многочлена:
$(x-1)(x+5)(4x+5)$
Ответ: $(x-1)(x+5)(4x+5)$

г)

Для разложения многочлена $5x^3 + 3x^2 - 5x - 3$ применим метод группировки слагаемых.
Сгруппируем первый член с третьим, а второй с четвертым:
$(5x^3 - 5x) + (3x^2 - 3)$
В каждой группе вынесем общий множитель за скобки:
$5x(x^2 - 1) + 3(x^2 - 1)$
Теперь вынесем общий для обеих групп множитель $(x^2 - 1)$:
$(x^2 - 1)(5x + 3)$
Применим к выражению $(x^2 - 1)$ формулу разности квадратов:
$(x - 1)(x + 1)(5x + 3)$
Ответ: $(x - 1)(x + 1)(5x + 3)$