Номер 3.125, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.125, страница 151.

Условие.

3.125 a) $(x+y)^2 - 3(x+y) - 10;$

б) $(a+b)^2 - 5(a+b) - 84;$

в) $(m+n)^2 + 3(m+n) + 2;$

г) $(a-2)^2 + 4(a-2) - 21;$

д) $(3-y)^2 - 2(3-y) - 35;$

е) $(1-x)^2 - 6(1-x) + 8.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данных задач используется метод замены переменной. Каждое выражение приводится к виду квадратного трехчлена $at^2+bt+c$, который затем раскладывается на множители по формуле $a(t-t_1)(t-t_2)$, где $t_1$ и $t_2$ — корни трехчлена. После этого выполняется обратная замена.

а)

Дано выражение $(x + y)^2 - 3(x + y) - 10$.

Введем замену переменной. Пусть $t = x + y$.

Тогда исходное выражение примет вид: $t^2 - 3t - 10$.

Это квадратный трехчлен. Найдем его корни с помощью теоремы Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = 3$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -10$. Подбором находим корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -2$.

Следовательно, трехчлен можно разложить на множители: $t^2 - 3t - 10 = (t - 5)(t - (-2)) = (t - 5)(t + 2)$.

Выполним обратную замену, подставив $x + y$ вместо $t$:

$(t - 5)(t + 2) = (x + y - 5)(x + y + 2)$.

Ответ: $(x + y - 5)(x + y + 2)$.

б)

Дано выражение $(a + b)^2 - 5(a + b) - 84$.

Введем замену переменной. Пусть $t = a + b$.

Тогда исходное выражение примет вид: $t^2 - 5t - 84$.

Найдем корни этого квадратного трехчлена. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 5$ и $t_1 \cdot t_2 = -84$. Корнями являются числа $t_1 = 12$ и $t_2 = -7$.

Разложим трехчлен на множители: $t^2 - 5t - 84 = (t - 12)(t - (-7)) = (t - 12)(t + 7)$.

Выполним обратную замену, подставив $a + b$ вместо $t$:

$(t - 12)(t + 7) = (a + b - 12)(a + b + 7)$.

Ответ: $(a + b - 12)(a + b + 7)$.

в)

Дано выражение $(m + n)^2 + 3(m + n) + 2$.

Введем замену переменной. Пусть $t = m + n$.

Тогда исходное выражение примет вид: $t^2 + 3t + 2$.

Найдем корни этого квадратного трехчлена. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -3$ и $t_1 \cdot t_2 = 2$. Корнями являются числа $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.

Разложим трехчлен на множители: $t^2 + 3t + 2 = (t - (-1))(t - (-2)) = (t + 1)(t + 2)$.

Выполним обратную замену, подставив $m + n$ вместо $t$:

$(t + 1)(t + 2) = (m + n + 1)(m + n + 2)$.

Ответ: $(m + n + 1)(m + n + 2)$.

г)

Дано выражение $(a - 2)^2 + 4(a - 2) - 21$.

Введем замену переменной. Пусть $t = a - 2$.

Тогда исходное выражение примет вид: $t^2 + 4t - 21$.

Найдем корни этого квадратного трехчлена. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -4$ и $t_1 \cdot t_2 = -21$. Корнями являются числа $t_1 = 3$ и $t_2 = -7$.

Разложим трехчлен на множители: $t^2 + 4t - 21 = (t - 3)(t - (-7)) = (t - 3)(t + 7)$.

Выполним обратную замену, подставив $a - 2$ вместо $t$, и упростим:

$(t - 3)(t + 7) = ((a - 2) - 3)((a - 2) + 7) = (a - 2 - 3)(a - 2 + 7) = (a - 5)(a + 5)$.

Ответ: $(a - 5)(a + 5)$.

д)

Дано выражение $(3 - y)^2 - 2(3 - y) - 35$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 3 - y$.

Тогда исходное выражение примет вид: $t^2 - 2t - 35$.

Найдем корни этого квадратного трехчлена. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -35$. Корнями являются числа $t_1 = 7$ и $t_2 = -5$.

Разложим трехчлен на множители: $t^2 - 2t - 35 = (t - 7)(t - (-5)) = (t - 7)(t + 5)$.

Выполним обратную замену, подставив $3 - y$ вместо $t$, и упростим:

$(t - 7)(t + 5) = ((3 - y) - 7)((3 - y) + 5) = (3 - y - 7)(3 - y + 5) = (-y - 4)(8 - y)$.

Для удобства преобразуем множители: $(-y - 4)(8 - y) = (-1)(y + 4)(-1)(y - 8) = (y + 4)(y - 8)$.

Ответ: $(y + 4)(y - 8)$.

е)

Дано выражение $(1 - x)^2 - 6(1 - x) + 8$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 1 - x$.

Тогда исходное выражение примет вид: $t^2 - 6t + 8$.

Найдем корни этого квадратного трехчлена. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 6$ и $t_1 \cdot t_2 = 8$. Корнями являются числа $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Разложим трехчлен на множители: $t^2 - 6t + 8 = (t - 2)(t - 4)$.

Выполним обратную замену, подставив $1 - x$ вместо $t$, и упростим:

$(t - 2)(t - 4) = ((1 - x) - 2)((1 - x) - 4) = (1 - x - 2)(1 - x - 4) = (-x - 1)(-x - 3)$.

Преобразуем множители: $(-x - 1)(-x - 3) = (-1)(x + 1)(-1)(x + 3) = (x + 1)(x + 3)$.

Ответ: $(x + 1)(x + 3)$.