Номер 3.119, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.119, страница 150.

Условие.

3.119 Представьте в виде произведения двух линейных множителей с целыми коэффициентами:

а) $6x^2 + 25x + 14$;

б) $18y^2 - 19y - 12$;

в) $-12z^2 - 11z + 15$;

г) $8m^2 - 27m - 20$;

д) $-6a^2 + a + 12$;

е) $24b^2 + 5b - 36$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $6x^2 + 25x + 14$
Для того чтобы представить квадратный трехчлен в виде произведения, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6x^2 + 25x + 14 = 0$. Разложение на множители имеет вид $A(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.
Вычислим дискриминант: $D = B^2 - 4AC = 25^2 - 4 \cdot 6 \cdot 14 = 625 - 336 = 289 = 17^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{-25 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$
$x_2 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A} = \frac{-25 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-42}{12} = -\frac{7}{2}$
Подставим корни в формулу разложения:
$6x^2 + 25x + 14 = 6(x - (-\frac{2}{3}))(x - (-\frac{7}{2})) = 6(x + \frac{2}{3})(x + \frac{7}{2})$.
Чтобы получить множители с целыми коэффициентами, представим $6$ как $3 \cdot 2$ и распределим эти множители по скобкам:
$3(x + \frac{2}{3}) \cdot 2(x + \frac{7}{2}) = (3x + 2)(2x + 7)$.
Ответ: $(3x + 2)(2x + 7)$.

б) $18y^2 - 19y - 12$
Найдем корни уравнения $18y^2 - 19y - 12 = 0$.
Дискриминант: $D = (-19)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-12) = 361 + 864 = 1225 = 35^2$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-(-19) + 35}{2 \cdot 18} = \frac{19 + 35}{36} = \frac{54}{36} = \frac{3}{2}$
$y_2 = \frac{-(-19) - 35}{2 \cdot 18} = \frac{19 - 35}{36} = \frac{-16}{36} = -\frac{4}{9}$
Выполним разложение на множители:
$18(y - \frac{3}{2})(y - (-\frac{4}{9})) = 18(y - \frac{3}{2})(y + \frac{4}{9})$.
Представим $18$ как $2 \cdot 9$ и внесем множители в скобки:
$2(y - \frac{3}{2}) \cdot 9(y + \frac{4}{9}) = (2y - 3)(9y + 4)$.
Ответ: $(2y - 3)(9y + 4)$.

в) $-12z^2 - 11z + 15$
Вынесем $-1$ за скобки: $-(12z^2 + 11z - 15)$.
Теперь разложим на множители выражение в скобках, найдя корни уравнения $12z^2 + 11z - 15 = 0$.
Дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-15) = 121 + 720 = 841 = 29^2$.
Корни уравнения:
$z_1 = \frac{-11 + 29}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$
$z_2 = \frac{-11 - 29}{2 \cdot 12} = \frac{-40}{24} = -\frac{5}{3}$
Разложение для выражения в скобках:
$12(z - \frac{3}{4})(z - (-\frac{5}{3})) = 12(z - \frac{3}{4})(z + \frac{5}{3})$.
Распределим множитель $12 = 4 \cdot 3$:
$4(z - \frac{3}{4}) \cdot 3(z + \frac{5}{3}) = (4z - 3)(3z + 5)$.
Вернем множитель $-1$: $-(4z - 3)(3z + 5) = (3 - 4z)(3z + 5)$.
Ответ: $(3 - 4z)(3z + 5)$.

г) $8m^2 - 27m - 20$
Найдем корни уравнения $8m^2 - 27m - 20 = 0$.
Дискриминант: $D = (-27)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-20) = 729 + 640 = 1369 = 37^2$.
Корни уравнения:
$m_1 = \frac{-(-27) + 37}{2 \cdot 8} = \frac{27 + 37}{16} = \frac{64}{16} = 4$
$m_2 = \frac{-(-27) - 37}{2 \cdot 8} = \frac{27 - 37}{16} = \frac{-10}{16} = -\frac{5}{8}$
Выполним разложение на множители:
$8(m - 4)(m - (-\frac{5}{8})) = 8(m - 4)(m + \frac{5}{8})$.
Внесем множитель 8 во вторую скобку:
$(m - 4) \cdot 8(m + \frac{5}{8}) = (m - 4)(8m + 5)$.
Ответ: $(m - 4)(8m + 5)$.

д) $-6a^2 + a + 12$
Вынесем $-1$ за скобки: $-(6a^2 - a - 12)$.
Найдем корни уравнения $6a^2 - a - 12 = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.
Корни уравнения:
$a_1 = \frac{-(-1) + 17}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
$a_2 = \frac{-(-1) - 17}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 17}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}$
Разложение для выражения в скобках:
$6(a - \frac{3}{2})(a - (-\frac{4}{3})) = 6(a - \frac{3}{2})(a + \frac{4}{3})$.
Распределим множитель $6 = 2 \cdot 3$:
$2(a - \frac{3}{2}) \cdot 3(a + \frac{4}{3}) = (2a - 3)(3a + 4)$.
Вернем множитель $-1$: $-(2a - 3)(3a + 4) = (3 - 2a)(3a + 4)$.
Ответ: $(3 - 2a)(3a + 4)$.

е) $24b^2 + 5b - 36$
Найдем корни уравнения $24b^2 + 5b - 36 = 0$.
Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-36) = 25 + 3456 = 3481 = 59^2$.
Корни уравнения:
$b_1 = \frac{-5 + 59}{2 \cdot 24} = \frac{54}{48} = \frac{9}{8}$
$b_2 = \frac{-5 - 59}{2 \cdot 24} = \frac{-64}{48} = -\frac{4}{3}$
Выполним разложение на множители:
$24(b - \frac{9}{8})(b - (-\frac{4}{3})) = 24(b - \frac{9}{8})(b + \frac{4}{3})$.
Представим $24$ как $8 \cdot 3$ и внесем множители в скобки:
$8(b - \frac{9}{8}) \cdot 3(b + \frac{4}{3}) = (8b - 9)(3b + 4)$.
Ответ: $(8b - 9)(3b + 4)$.