Номер 3.113, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.113, страница 150.

Условие.

3.113 а) $2x^2 + 3x + 1$;

В) $-4z^2 + 11z + 3$;

Д) $3 - 11m + 6m^2$;

Б) $3y^2 + 7y - 6$;

Г) $3a^2 + 7a + 2$;

е) $2 + 9n + 7n^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы разложить квадратный трехчлен $2x^2 + 3x + 1$ на множители, приравняем его к нулю и найдем корни получившегося квадратного уравнения: $2x^2 + 3x + 1 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=3$, $c=1$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
Теперь воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$2x^2 + 3x + 1 = 2(x - (-\frac{1}{2}))(x - (-1)) = 2(x + \frac{1}{2})(x + 1) = (2x + 1)(x + 1)$.
Ответ: $(2x + 1)(x + 1)$.

б) Разложим на множители трехчлен $3y^2 + 7y - 6$. Для этого решим квадратное уравнение $3y^2 + 7y - 6 = 0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=7$, $c=-6$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$.
Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$y_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.
Применим формулу разложения $a(y - y_1)(y - y_2)$:
$3y^2 + 7y - 6 = 3(y - \frac{2}{3})(y - (-3)) = 3(y - \frac{2}{3})(y + 3) = (3y - 2)(y + 3)$.
Ответ: $(3y - 2)(y + 3)$.

в) Разложим на множители $-4z^2 + 11z + 3$. Решим уравнение $-4z^2 + 11z + 3 = 0$.
Коэффициенты: $a=-4$, $b=11$, $c=3$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 3 = 121 + 48 = 169$.
Найдем корни:
$z_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot (-4)} = \frac{-11 + 13}{-8} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$.
$z_2 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2 \cdot (-4)} = \frac{-11 - 13}{-8} = \frac{-24}{-8} = 3$.
Подставим корни в формулу разложения $a(z - z_1)(z - z_2)$:
$-4z^2 + 11z + 3 = -4(z - (-\frac{1}{4}))(z - 3) = -4(z + \frac{1}{4})(z - 3) = -(4z + 1)(z - 3) = (4z + 1)(3 - z)$.
Ответ: $(4z + 1)(3 - z)$.

г) Разложим на множители $3a^2 + 7a + 2$. Решим уравнение $3a^2 + 7a + 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=7$, $c=2$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.
Найдем корни:
$a_1 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 5}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
$a_2 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 5}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
Применим формулу разложения:
$3a^2 + 7a + 2 = 3(a - (-\frac{1}{3}))(a - (-2)) = 3(a + \frac{1}{3})(a + 2) = (3a + 1)(a + 2)$.
Ответ: $(3a + 1)(a + 2)$.

д) Разложим на множители $3 - 11m + 6m^2$. Сначала запишем трехчлен в стандартном виде: $6m^2 - 11m + 3$.
Решим уравнение $6m^2 - 11m + 3 = 0$.
Коэффициенты: $a=6$, $b=-11$, $c=3$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 121 - 72 = 49$.
Найдем корни:
$m_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{11 + 7}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.
$m_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{11 - 7}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Применим формулу разложения:
$6m^2 - 11m + 3 = 6(m - \frac{3}{2})(m - \frac{1}{3}) = 2(m - \frac{3}{2}) \cdot 3(m - \frac{1}{3}) = (2m - 3)(3m - 1)$.
Ответ: $(2m - 3)(3m - 1)$.

е) Разложим на множители $2 + 9n + 7n^2$. Запишем трехчлен в стандартном виде: $7n^2 + 9n + 2$.
Решим уравнение $7n^2 + 9n + 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=7$, $b=9$, $c=2$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25$.
Найдем корни:
$n_1 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{-9 + 5}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$.
$n_2 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{-9 - 5}{14} = \frac{-14}{14} = -1$.
Применим формулу разложения:
$7n^2 + 9n + 2 = 7(n - (-\frac{2}{7}))(n - (-1)) = 7(n + \frac{2}{7})(n + 1) = (7n + 2)(n + 1)$.
Ответ: $(7n + 2)(n + 1)$.