Номер 2, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Вопросы к параграфу. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 149.

Условие.

Что называют корнями квадратного трёхчлена? Сколько корней может иметь квадратный трёхчлен и от чего зависит их число? Имеет ли корни квадратный трёхчлен $x^2 + 11x + 24$? Если имеет, найдите их.

Решение 3.

Решение 4.

Что называют корнями квадратного трёхчлена?
Корнями квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ (где $a, b, c$ – некоторые числа, и $a \neq 0$) называют такие значения переменной $x$, при которых значение этого трёхчлена обращается в ноль. Эти значения являются решениями (корнями) соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Ответ: Корни квадратного трёхчлена – это значения переменной, при которых трёхчлен равен нулю.

Сколько корней может иметь квадратный трёхчлен и от чего зависит их число?
Квадратный трёхчлен может иметь два, один или ни одного действительного корня. Количество корней напрямую зависит от знака его дискриминанта. Дискриминант ($D$) для трёхчлена $ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.
- Если $D > 0$ (дискриминант положителен), то трёхчлен имеет два различных действительных корня.
- Если $D = 0$ (дискриминант равен нулю), то трёхчлен имеет один действительный корень (его также называют двойным корнем или корнем кратности 2).
- Если $D < 0$ (дискриминант отрицателен), то трёхчлен не имеет действительных корней.
Ответ: Квадратный трёхчлен может иметь два, один или ноль действительных корней; их число зависит от знака его дискриминанта.

Имеет ли корни квадратный трёхчлен $x^2 + 11x + 24$? Если имеет, найдите их.
Да, этот трёхчлен имеет корни. Чтобы найти их, нужно решить квадратное уравнение $x^2 + 11x + 24 = 0$.
1. Определим коэффициенты уравнения: $a = 1, b = 11, c = 24$.
2. Вычислим дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$.
3. Так как $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
4. Найдем корни, используя формулу корней квадратного уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 - 5}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.
$x_2 = \frac{-11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 + 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Корни трёхчлена: -8 и -3.
Ответ: Да, имеет. Корни трёхчлена: -8 и -3.