Номер 4, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Вопросы к параграфу. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 4, страница 149.

Условие.

Запишите формулу разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители. Запишите формулу разложения на множители для квадратного трёхчлена вида $x^2 + px + q$. Разложите на множители трёхчлен $5x^2 + 3x - 2$.

Решение 3.

Решение 4.

Запишите формулу разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители.
Если квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ имеет корни $x_1$ и $x_2$, то есть $x_1$ и $x_2$ являются решениями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то его можно разложить на множители по следующей формуле, где $a$ — старший коэффициент.
Ответ: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Запишите формулу разложения на множители для квадратного трёхчлена вида $x^2 + px + q$.
Это частный случай предыдущей формулы для приведённого квадратного трёхчлена, у которого старший коэффициент $a = 1$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$, то формула разложения выглядит так:
Ответ: $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$.

Разложите на множители трёхчлен $5x^2 + 3x - 2$.
Для разложения данного трёхчлена на множители сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 + 3x - 2 = 0$.
Здесь коэффициенты $a=5$, $b=3$, $c=-2$.
Найдём дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 - 7}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Теперь подставим значения коэффициента $a=5$ и корней $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{2}{5}$ в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$5x^2 + 3x - 2 = 5(x - (-1))(x - \frac{2}{5}) = 5(x + 1)(x - \frac{2}{5})$.
Чтобы избавиться от дроби в выражении, умножим множитель 5 на вторую скобку:
$5(x + 1)(x - \frac{2}{5}) = (x + 1) \cdot 5(x - \frac{2}{5}) = (x + 1)(5x - 2)$.
Ответ: $(x + 1)(5x - 2)$.