Номер 3.112, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.112, страница 149.

Условие.

3.112 a) $21 + 10n + n^2$;

Б) $14 - 9k + k^2$;

В) $42 - 13b + b^2$;

Г) $48 - 14c + c^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Заданный трехчлен: $21 + 10n + n^2$.
Для удобства запишем его в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней переменной $n$: $n^2 + 10n + 21$.
Это приведенный квадратный трехчлен вида $x^2 + px + q$. Для его разложения на множители нужно найти два числа, $m$ и $k$, такие, что их сумма равна коэффициенту при первой степени переменной ($p$), а их произведение равно свободному члену ($q$). В данном случае $p=10$ и $q=21$. То есть:
$m + k = 10$
$m \cdot k = 21$
Методом подбора находим, что такими числами являются 3 и 7, так как $3 + 7 = 10$ и $3 \cdot 7 = 21$.
Следовательно, разложение трехчлена на множители имеет вид $(n + 3)(n + 7)$.

Ответ: $(n+3)(n+7)$

б)

Заданный трехчлен: $14 - 9k + k^2$.
Запишем его в стандартном виде: $k^2 - 9k + 14$.
Нам необходимо найти два числа, сумма которых равна $-9$, а произведение равно $14$.
Поскольку произведение чисел положительное (14), а их сумма отрицательная ($-9$), оба числа должны быть отрицательными.
Подбираем эти числа. Это $-2$ и $-7$, так как $(-2) + (-7) = -9$ и $(-2) \cdot (-7) = 14$.
Таким образом, разложение на множители будет следующим: $(k - 2)(k - 7)$.

Ответ: $(k-2)(k-7)$

в)

Заданный трехчлен: $42 - 13b + b^2$.
Приведем его к стандартному виду: $b^2 - 13b + 42$.
Ищем два числа, сумма которых составляет $-13$, а произведение – $42$.
Так как произведение положительно ($42$), а сумма отрицательна ($-13$), оба искомых числа отрицательные.
Такими числами являются $-6$ и $-7$, потому что $(-6) + (-7) = -13$ и $(-6) \cdot (-7) = 42$.
Следовательно, трехчлен раскладывается на множители: $(b - 6)(b - 7)$.

Ответ: $(b-6)(b-7)$

г)

Заданный трехчлен: $48 - 14c + c^2$.
Запишем в стандартном виде: $c^2 - 14c + 48$.
Нужно найти два числа, которые в сумме дают $-14$, а в произведении $48$.
Произведение положительное ($48$), сумма отрицательная ($-14$), значит, оба числа отрицательные.
Эти числа – $-6$ и $-8$, так как $(-6) + (-8) = -14$ и $(-6) \cdot (-8) = 48$.
Таким образом, получаем разложение: $(c - 6)(c - 8)$.

Ответ: $(c-6)(c-8)$