Номер 3, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Вопросы к параграфу. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3, страница 149.

Условие.

Всегда ли квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители? Сформулируйте соответствующие утверждения (фрагмент 2). Какой из трёхчленов $x^2 + 4x + 5$ и $x^2 + 4x - 5$ можно разложить на линейные множители, а какой — нельзя?

Решение 3.

Решение 4.

Всегда ли квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители?
Нет, не всегда. Возможность разложить квадратный трёхчлен на линейные множители с действительными коэффициентами напрямую зависит от знака его дискриминанта.
Ответ: Не всегда.

Сформулируйте соответствующие утверждения.
Утверждения, связывающие возможность разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на линейные множители со знаком его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
1. Если дискриминант положителен ($D > 0$), то уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$. В этом случае трёхчлен раскладывается на множители по формуле: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
2. Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), то уравнение имеет один действительный корень (или два равных) $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В этом случае трёхчлен также раскладывается на множители: $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$.
3. Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), то уравнение не имеет действительных корней. В этом случае квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.
Ответ: Квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители, если его дискриминант $D \ge 0$. Если $D < 0$, то разложить его на линейные множители (в поле действительных чисел) нельзя.

Какой из трёхчленов $x^2 + 4x + 5$ и $x^2 + 4x - 5$ можно разложить на линейные множители, а какой — нельзя?
Для ответа на этот вопрос необходимо вычислить дискриминанты обоих трёхчленов.

Анализ трёхчлена $x^2 + 4x + 5$:
Здесь коэффициенты $a=1, b=4, c=5$.
Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Поскольку дискриминант $D = -4 < 0$, у трёхчлена нет действительных корней, и его нельзя разложить на линейные множители.

Анализ трёхчлена $x^2 + 4x - 5$:
Здесь коэффициенты $a=1, b=4, c=-5$.
Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Поскольку дискриминант $D = 36 > 0$, у трёхчлена есть два действительных корня, и его можно разложить на линейные множители.
Найдем эти корни по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 6}{2}$.
$x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5$
Следовательно, разложение на множители имеет вид: $x^2 + 4x - 5 = (x - x_1)(x - x_2) = (x - 1)(x - (-5)) = (x - 1)(x + 5)$.

Ответ: Трёхчлен $x^2 + 4x - 5$ можно разложить на линейные множители: $(x - 1)(x + 5)$. Трёхчлен $x^2 + 4x + 5$ разложить на линейные множители нельзя.