Номер 3.107, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.107, страница 146.

Условие.

3.107 Уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$. Выразите через коэффициенты $p$ и $q$:

а) $x_1^2 + x_2^2$;

б) $x_1^3 + x_2^3$;

в) $x_1^4 + x_2^4$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данной задачи мы будем использовать теорему Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Согласно этой теореме, если $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения, то их сумма и произведение выражаются через коэффициенты $p$ и $q$ следующим образом:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$
Эти два выражения являются элементарными симметрическими многочленами, через которые можно выразить любые другие симметрические многочлены от $x_1$ и $x_2$.

a) $x_1^2+x_2^2$;
Чтобы выразить сумму квадратов корней, воспользуемся известным алгебраическим тождеством, которое связывает квадрат суммы с суммой квадратов: $(x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда получаем:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
Теперь подставим в это выражение значения из теоремы Виета:
$x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 - 2(q) = p^2 - 2q$.
Ответ: $p^2 - 2q$.

б) $x_1^3+x_2^3$;
Для нахождения суммы кубов корней применим тождество для суммы кубов: $(x_1+x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 + x_2^3 = x_1^3 + x_2^3 + 3x_1x_2(x_1+x_2)$. Выразим из него искомую сумму:
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$
Подставим значения для суммы и произведения корней:
$x_1^3 + x_2^3 = (-p)^3 - 3(q)(-p) = -p^3 + 3pq$.
Ответ: $3pq - p^3$.

в) $x_1^4+x_2^4$.
Сумму четвертых степеней корней можно представить как квадрат суммы квадратов. Воспользуемся результатом, полученным в пункте a):
$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2)^2 + (x_2^2)^2 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$
Мы уже знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = p^2 - 2q$ и $x_1x_2 = q$. Подставим эти выражения:
$x_1^4 + x_2^4 = (p^2 - 2q)^2 - 2(q)^2$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(p^4 - 4p^2q + 4q^2) - 2q^2 = p^4 - 4p^2q + 2q^2$.
Ответ: $p^4 - 4p^2q + 2q^2$.