Номер 3.101, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.101, страница 145.

Условие.

3.101 a) Один из корней уравнения $x^2 + px - 20 = 0$ равен -5.

Определите другой корень и коэффициент p.

б) Один из корней уравнения $3x^2 + px + 4 = 0$ равен -2.

Определите другой корень и коэффициент p.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$. Согласно теореме, сумма корней $x_1 + x_2$ равна $-b$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно $c$.

В нашем уравнении $x^2 + px - 20 = 0$ коэффициенты равны $b=p$ и $c=-20$. Таким образом, для корней $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие соотношения:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = -20$

По условию, один из корней равен $-5$. Пусть $x_1 = -5$. Подставим это значение в уравнение для произведения корней, чтобы найти второй корень $x_2$:
$(-5) \cdot x_2 = -20$
$x_2 = \frac{-20}{-5}$
$x_2 = 4$

Теперь, зная оба корня ($x_1 = -5$ и $x_2 = 4$), мы можем найти коэффициент $p$ из уравнения для суммы корней:
$x_1 + x_2 = -p$
$(-5) + 4 = -p$
$-1 = -p$
$p = 1$

Таким образом, другой корень уравнения равен 4, а коэффициент $p$ равен 1.
Ответ: другой корень равен 4, $p=1$.

б) Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Согласно теореме, сумма корней $x_1 + x_2$ равна $-\frac{b}{a}$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно $\frac{c}{a}$.

В нашем уравнении $3x^2 + px + 4 = 0$ коэффициенты равны $a=3$, $b=p$ и $c=4$. Таким образом, для корней $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие соотношения:
$x_1 + x_2 = -\frac{p}{3}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{3}$

По условию, один из корней равен $-2$. Пусть $x_1 = -2$. Подставим это значение в уравнение для произведения корней, чтобы найти второй корень $x_2$:
$(-2) \cdot x_2 = \frac{4}{3}$
$x_2 = \frac{4}{3} \div (-2)$
$x_2 = -\frac{4}{3 \cdot 2}$
$x_2 = -\frac{2}{3}$

Теперь, зная оба корня ($x_1 = -2$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$), мы можем найти коэффициент $p$ из уравнения для суммы корней:
$x_1 + x_2 = -\frac{p}{3}$
$(-2) + (-\frac{2}{3}) = -\frac{p}{3}$
$-\frac{6}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{p}{3}$
$-\frac{8}{3} = -\frac{p}{3}$
Умножим обе части уравнения на $-3$:
$p = 8$

Таким образом, другой корень уравнения равен $-\frac{2}{3}$, а коэффициент $p$ равен 8.
Ответ: другой корень равен $-\frac{2}{3}$, $p=8$.