Номер 3.99, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.99, страница 144.

Условие.

3.99 АНАЛИЗИРУЕМ Определите, имеет ли уравнение корни. Если имеет, то ответьте на следующие вопросы: 1) Сколько корней имеет уравнение? 2) Рациональными или иррациональными являются его корни? 3) Каковы знаки корней? 4) Если корни разных знаков, то какой из них имеет больший модуль?

а) $3x^2 + 7x + 2 = 0;$

б) $3y^2 - 8y + 2 = 0;$

в) $4x^2 - 11x - 3 = 0;$

г) $-8z^2 - 2z + 3 = 0;$

д) $5x^2 - 3x + 1 = 0;$

е) $-6z^2 + 11z - 3 = 0;$

ж) $-2y^2 + 4y - 3 = 0;$

з) $2x^2 - 10x - 5 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для анализа каждого квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ мы будем использовать следующие шаги:

1. Вычисляем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
   • Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
   • Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень.
   • Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
2. Определяем рациональность корней. Если коэффициенты $a, b, c$ рациональны, то корни рациональны, если $D$ является полным квадратом целого числа. В противном случае, если $D>0$, корни иррациональны.
3. Для определения знаков корней (при $D \ge 0$) используем теорему Виета:
   • Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$.
   • Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a$.
   • Если $c/a > 0$, корни имеют одинаковый знак (оба положительные, если $-b/a > 0$; оба отрицательные, если $-b/a < 0$).
   • Если $c/a < 0$, корни имеют разные знаки.
4. Если корни имеют разные знаки, сравниваем их модули по знаку суммы $-b/a$:
   • Если $-b/a > 0$, положительный корень имеет больший модуль.
   • Если $-b/a < 0$, отрицательный корень имеет больший модуль.

---

а) $3x^2 + 7x + 2 = 0$

Коэффициенты: $a=3, b=7, c=2$.

Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.

1) Сколько корней имеет уравнение?
Так как $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) Рациональными или иррациональными являются его корни?
Поскольку $D=25=5^2$ является полным квадратом, корни рациональные.

3) Каковы знаки корней?
По теореме Виета: произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a = 2/3 > 0$, значит, корни одного знака. Сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a = -7/3 < 0$, следовательно, оба корня отрицательные.

4) Если корни разных знаков, то какой из них имеет больший модуль?
Вопрос не применим, так как оба корня одного знака.

Ответ: 2 корня; рациональные; оба отрицательные.

---

б) $3y^2 - 8y + 2 = 0$

Коэффициенты: $a=3, b=-8, c=2$.

Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 64 - 24 = 40$.

1) Сколько корней имеет уравнение?
Так как $D = 40 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) Рациональными или иррациональными являются его корни?
Поскольку $D=40$ не является полным квадратом, корни иррациональные.

3) Каковы знаки корней?
По теореме Виета: произведение корней $y_1 \cdot y_2 = c/a = 2/3 > 0$, значит, корни одного знака. Сумма корней $y_1 + y_2 = -b/a = -(-8)/3 = 8/3 > 0$, следовательно, оба корня положительные.

4) Если корни разных знаков, то какой из них имеет больший модуль?
Вопрос не применим.

Ответ: 2 корня; иррациональные; оба положительные.

---

в) $4x^2 - 11x - 3 = 0$

Коэффициенты: $a=4, b=-11, c=-3$.

Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$.

1) Сколько корней имеет уравнение?
Так как $D = 169 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) Рациональными или иррациональными являются его корни?
Поскольку $D=169=13^2$ является полным квадратом, корни рациональные.

3) Каковы знаки корней?
По теореме Виета: произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a = -3/4 < 0$, следовательно, корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).

4) Если корни разных знаков, то какой из них имеет больший модуль?
Сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a = -(-11)/4 = 11/4 > 0$. Так как сумма положительна, положительный корень имеет больший модуль.

Ответ: 2 корня; рациональные; корни разных знаков, положительный корень имеет больший модуль.

---

г) $-8z^2 - 2z + 3 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства: $8z^2 + 2z - 3 = 0$.

Коэффициенты: $a=8, b=2, c=-3$.

Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 4 + 96 = 100$.

1) Сколько корней имеет уравнение?
Так как $D = 100 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) Рациональными или иррациональными являются его корни?
Поскольку $D=100=10^2$ является полным квадратом, корни рациональные.

3) Каковы знаки корней?
По теореме Виета: произведение корней $z_1 \cdot z_2 = c/a = -3/8 < 0$, следовательно, корни имеют разные знаки.

4) Если корни разных знаков, то какой из них имеет больший модуль?
Сумма корней $z_1 + z_2 = -b/a = -2/8 = -1/4 < 0$. Так как сумма отрицательна, отрицательный корень имеет больший модуль.

Ответ: 2 корня; рациональные; корни разных знаков, отрицательный корень имеет больший модуль.

---

д) $5x^2 - 3x + 1 = 0$

Коэффициенты: $a=5, b=-3, c=1$.

Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 9 - 20 = -11$.

1) Сколько корней имеет уравнение?
Так как $D = -11 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

---

е) $-6z^2 + 11z - 3 = 0$

Умножим уравнение на -1: $6z^2 - 11z + 3 = 0$.

Коэффициенты: $a=6, b=-11, c=3$.

Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 121 - 72 = 49$.

1) Сколько корней имеет уравнение?
Так как $D = 49 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) Рациональными или иррациональными являются его корни?
Поскольку $D=49=7^2$ является полным квадратом, корни рациональные.

3) Каковы знаки корней?
По теореме Виета: произведение корней $z_1 \cdot z_2 = c/a = 3/6 = 1/2 > 0$, значит, корни одного знака. Сумма корней $z_1 + z_2 = -b/a = -(-11)/6 = 11/6 > 0$, следовательно, оба корня положительные.

4) Если корни разных знаков, то какой из них имеет больший модуль?
Вопрос не применим.

Ответ: 2 корня; рациональные; оба положительные.

---

ж) $-2y^2 + 4y - 3 = 0$

Умножим уравнение на -1: $2y^2 - 4y + 3 = 0$.

Коэффициенты: $a=2, b=-4, c=3$.

Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8$.

1) Сколько корней имеет уравнение?
Так как $D = -8 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

---

з) $2x^2 - 10x - 5 = 0$

Коэффициенты: $a=2, b=-10, c=-5$.

Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 100 + 40 = 140$.

1) Сколько корней имеет уравнение?
Так как $D = 140 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) Рациональными или иррациональными являются его корни?
Поскольку $D=140$ не является полным квадратом, корни иррациональные.

3) Каковы знаки корней?
По теореме Виета: произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a = -5/2 < 0$, следовательно, корни имеют разные знаки.

4) Если корни разных знаков, то какой из них имеет больший модуль?
Сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a = -(-10)/2 = 5 > 0$. Так как сумма положительна, положительный корень имеет больший модуль.

Ответ: 2 корня; иррациональные; корни разных знаков, положительный корень имеет больший модуль.