Номер 3.102, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.102, страница 145.

Условие.

3.102 a) Один из корней уравнения $x^2 - 8x + q = 0$ равен $-10$. Определите другой корень и коэффициент $q$.

б) Один из корней уравнения $2x^2 + 3x + q = 0$ равен 3. Определите другой корень и коэффициент $q$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 8x + q = 0$. Один из его корней $x_1 = -10$. Необходимо найти второй корень $x_2$ и коэффициент $q$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + c = 0$ справедливы следующие соотношения для корней $x_1$ и $x_2$:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем уравнении $x^2 - 8x + q = 0$ коэффициенты равны $p = -8$ и $c = q$.

1. Найдем второй корень $x_2$, используя формулу для суммы корней:
$x_1 + x_2 = -(-8)$
$x_1 + x_2 = 8$
Подставим известное значение $x_1 = -10$:
$-10 + x_2 = 8$
$x_2 = 8 + 10$
$x_2 = 18$

2. Найдем коэффициент $q$, используя формулу для произведения корней:
$q = x_1 \cdot x_2$
Подставим найденные значения корней $x_1 = -10$ и $x_2 = 18$:
$q = -10 \cdot 18$
$q = -180$

Ответ: второй корень равен 18, коэффициент $q = -180$.

б)

Дано квадратное уравнение $2x^2 + 3x + q = 0$. Один из его корней $x_1 = 3$. Необходимо найти второй корень $x_2$ и коэффициент $q$.

Воспользуемся теоремой Виета для полного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Соотношения для корней $x_1$ и $x_2$ выглядят так:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a$

В нашем уравнении $2x^2 + 3x + q = 0$ коэффициенты равны $a = 2$, $b = 3$, $c = q$.

1. Найдем второй корень $x_2$, используя формулу для суммы корней:
$x_1 + x_2 = -3/2$
Подставим известное значение $x_1 = 3$:
$3 + x_2 = -3/2$
$x_2 = -3/2 - 3$
$x_2 = -3/2 - 6/2$
$x_2 = -9/2$

2. Найдем коэффициент $q$. Это можно сделать, подставив известный корень $x_1=3$ в исходное уравнение:
$2(3)^2 + 3(3) + q = 0$
$2 \cdot 9 + 9 + q = 0$
$18 + 9 + q = 0$
$27 + q = 0$
$q = -27$
Также можно использовать формулу произведения корней:
$x_1 \cdot x_2 = q/a$
$3 \cdot (-9/2) = q/2$
$-27/2 = q/2$
$q = -27$

Ответ: второй корень равен $-9/2$, коэффициент $q = -27$.