Номер 3.108, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.108, страница 146.

Условие.

3.108 ИССЛЕДУЕМ

1) Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равна нулю, то одним из корней этого уравнения является число 1.

2) Составьте какое-нибудь квадратное уравнение, имеющее корень, равный 1, и найдите второй корень этого уравнения.

3) Найдите устно корни уравнения:

а) $x^2 - 1999x + 1998 = 0$;

в) $8x^2 - 5x - 3 = 0$;

б) $x^2 + 2000x - 2001 = 0$;

г) $100x^2 - 150x + 50 = 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Рассмотрим квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \ne 0$.

По условию, сумма коэффициентов этого уравнения равна нулю: $a + b + c = 0$.

Чтобы доказать, что число 1 является корнем уравнения, необходимо подставить $x=1$ в левую часть уравнения и проверить, обратится ли она в ноль.

Выполним подстановку $x=1$ в выражение $ax^2 + bx + c$:

$a(1)^2 + b(1) + c = a \cdot 1 + b + c = a + b + c$.

Поскольку из условия задачи нам известно, что $a + b + c = 0$, то при $x=1$ левая часть уравнения равна нулю. Таким образом, мы получаем верное равенство $0=0$.

Это доказывает, что $x=1$ является корнем уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ при условии, что $a + b + c = 0$.

2)

Чтобы составить квадратное уравнение с корнем, равным 1, мы можем воспользоваться свойством, доказанным в пункте 1. Для этого нужно выбрать коэффициенты $a, b, c$ так, чтобы их сумма была равна нулю.

Например, выберем $a = 3$ и $b = 2$. Тогда, чтобы условие $a+b+c=0$ выполнялось, коэффициент $c$ должен быть равен $c = -(a+b) = -(3+2) = -5$.

В результате получаем квадратное уравнение: $3x^2 + 2x - 5 = 0$.

Мы знаем, что один из его корней $x_1 = 1$. Чтобы найти второй корень $x_2$, воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, произведение корней квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Подставим известные нам значения:

$1 \cdot x_2 = \frac{-5}{3}$

$x_2 = -\frac{5}{3}$

Таким образом, мы составили уравнение и нашли его второй корень.

Ответ: Например, уравнение $3x^2 + 2x - 5 = 0$, второй корень равен $-\frac{5}{3}$.

3)

Для устного нахождения корней данных уравнений будем использовать свойство, доказанное в пункте 1. Сначала проверим, равна ли сумма коэффициентов $a, b, c$ нулю. Если равна, то один корень $x_1 = 1$, а второй корень $x_2$ легко находится по теореме Виета как $x_2 = \frac{c}{a}$.

а) $x^2 - 1999x + 1998 = 0$

Коэффициенты: $a=1, b=-1999, c=1998$.
Сумма коэффициентов: $1 + (-1999) + 1998 = 1999 - 1999 = 0$.
Следовательно, первый корень $x_1 = 1$.
Второй корень $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1998}{1} = 1998$.

Ответ: 1; 1998.

б) $x^2 + 2000x - 2001 = 0$

Коэффициенты: $a=1, b=2000, c=-2001$.
Сумма коэффициентов: $1 + 2000 + (-2001) = 2001 - 2001 = 0$.
Следовательно, первый корень $x_1 = 1$.
Второй корень $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2001}{1} = -2001$.

Ответ: 1; -2001.

в) $8x^2 - 5x - 3 = 0$

Коэффициенты: $a=8, b=-5, c=-3$.
Сумма коэффициентов: $8 + (-5) + (-3) = 8 - 8 = 0$.
Следовательно, первый корень $x_1 = 1$.
Второй корень $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{8}$.

Ответ: 1; $-\frac{3}{8}$.

г) $100x^2 - 150x + 50 = 0$

Коэффициенты: $a=100, b=-150, c=50$.
Сумма коэффициентов: $100 + (-150) + 50 = 150 - 150 = 0$.
Следовательно, первый корень $x_1 = 1$.
Второй корень $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.

Ответ: 1; $\frac{1}{2}$.