Номер 3.111, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.111, страница 149.

Условие.

Разложите на множители (3.111—3.113).

3.111 а) $m^2 + 3m - 18;$

б) $b^2 + 9b + 8;$

в) $d^2 + 11d + 18;$

г) $a^2 + a - 6;$

д) $n^2 - 4n - 60;$

е) $x^2 - 23x + 60.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2+bx+c$ на множители используется формула $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$. Во всех представленных задачах коэффициент $a=1$, поэтому формула упрощается до $(x-x_1)(x-x_2)$. Корни можно найти либо через дискриминант, либо по теореме Виета.

а) $m^2 + 3m - 18$

Приравняем трехчлен к нулю, чтобы найти его корни: $m^2 + 3m - 18 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней: $m_1 + m_2 = -3$
Произведение корней: $m_1 \cdot m_2 = -18$
Подбором находим корни: $m_1 = -6$ и $m_2 = 3$.
Проверим: $(-6) + 3 = -3$ и $(-6) \cdot 3 = -18$. Корни найдены верно.
Теперь разложим трехчлен на множители по формуле $(m-m_1)(m-m_2)$:
$m^2 + 3m - 18 = (m - (-6))(m - 3) = (m+6)(m-3)$.
Ответ: $(m+6)(m-3)$.

б) $b^2 + 9b + 8$

Приравняем трехчлен к нулю: $b^2 + 9b + 8 = 0$.
По теореме Виета:
$b_1 + b_2 = -9$
$b_1 \cdot b_2 = 8$
Подбором находим корни: $b_1 = -1$ и $b_2 = -8$.
Проверим: $(-1) + (-8) = -9$ и $(-1) \cdot (-8) = 8$. Корни верны.
Разложим на множители:
$b^2 + 9b + 8 = (b - (-1))(b - (-8)) = (b+1)(b+8)$.
Ответ: $(b+1)(b+8)$.

в) $d^2 + 11d + 18$

Приравняем трехчлен к нулю: $d^2 + 11d + 18 = 0$.
По теореме Виета:
$d_1 + d_2 = -11$
$d_1 \cdot d_2 = 18$
Подбором находим корни: $d_1 = -2$ и $d_2 = -9$.
Проверим: $(-2) + (-9) = -11$ и $(-2) \cdot (-9) = 18$. Корни верны.
Разложим на множители:
$d^2 + 11d + 18 = (d - (-2))(d - (-9)) = (d+2)(d+9)$.
Ответ: $(d+2)(d+9)$.

г) $a^2 + a - 6$

Приравняем трехчлен к нулю: $a^2 + a - 6 = 0$.
По теореме Виета:
$a_1 + a_2 = -1$
$a_1 \cdot a_2 = -6$
Подбором находим корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = -3$.
Проверим: $2 + (-3) = -1$ и $2 \cdot (-3) = -6$. Корни верны.
Разложим на множители:
$a^2 + a - 6 = (a - 2)(a - (-3)) = (a-2)(a+3)$.
Ответ: $(a-2)(a+3)$.

д) $n^2 - 4n - 60$

Приравняем трехчлен к нулю: $n^2 - 4n - 60 = 0$.
Решим через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256 = 16^2$.
$n_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
$n_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.
Разложим на множители:
$n^2 - 4n - 60 = (n - 10)(n - (-6)) = (n-10)(n+6)$.
Ответ: $(n-10)(n+6)$.

е) $x^2 - 23x + 60$

Приравняем трехчлен к нулю: $x^2 - 23x + 60 = 0$.
Решим через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 529 - 240 = 289 = 17^2$.
$x_1 = \frac{-(-23) + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{23 + 17}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
$x_2 = \frac{-(-23) - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{23 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Разложим на множители:
$x^2 - 23x + 60 = (x - 20)(x - 3)$.
Ответ: $(x-20)(x-3)$.