Номер 3.117, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.117, страница 150.

Условие.

3.117 Разложите на множители:

а) $x^3 + 3x^2 + 2x;$

б) $x^3 - 7x^2 + 10x;$

в) $x^3 - 12x^2 + 32x;$

г) $x^4 + x^3 - 6x^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы разложить на множители многочлен $x^3 + 3x^2 + 2x$, первым шагом вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^3 + 3x^2 + 2x = x(x^2 + 3x + 2)$

Теперь необходимо разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 2$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $x_1 + x_2$ должна быть равна $-3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ должно быть равно $2$. Легко подобрать корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$. В нашем случае $a=1$, поэтому:

$x^2 + 3x + 2 = (x - (-1))(x - (-2)) = (x + 1)(x + 2)$.

Объединяя результаты, получаем окончательное разложение на множители:

$x(x + 1)(x + 2)$.

Ответ: $x(x + 1)(x + 2)$.

б)

Рассмотрим многочлен $x^3 - 7x^2 + 10x$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^3 - 7x^2 + 10x = x(x^2 - 7x + 10)$.

Далее разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 7x + 10$. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 10$. Подбираем корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Следовательно, разложение трехчлена будет:

$x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$.

Таким образом, исходный многочлен раскладывается на множители следующим образом:

$x(x - 2)(x - 5)$.

Ответ: $x(x - 2)(x - 5)$.

в)

Для разложения на множители выражения $x^3 - 12x^2 + 32x$ сначала вынесем общий множитель $x$:

$x^3 - 12x^2 + 32x = x(x^2 - 12x + 32)$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен в скобках: $x^2 - 12x + 32$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 12x + 32 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 12$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 32$. Корнями являются числа $x_1 = 4$ и $x_2 = 8$.

Тогда разложение трехчлена имеет вид:

$x^2 - 12x + 32 = (x - 4)(x - 8)$.

Полное разложение исходного выражения:

$x(x - 4)(x - 8)$.

Ответ: $x(x - 4)(x - 8)$.

г)

Рассмотрим выражение $x^4 + x^3 - 6x^2$. Наибольший общий множитель для всех членов — это $x^2$. Вынесем его за скобки:

$x^4 + x^3 - 6x^2 = x^2(x^2 + x - 6)$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + x - 6$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.

Используем теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корнями являются числа $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Разложение квадратного трехчлена:

$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x - (-3)) = (x - 2)(x + 3)$.

В результате получаем полное разложение исходного многочлена:

$x^2(x - 2)(x + 3)$.

Ответ: $x^2(x - 2)(x + 3)$.