Номер 3.118, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.118, страница 150.

Условие.

3.118 Составьте какое-нибудь уравнение, имеющее корни:

а) 2; -8;

б) 0; -1; 5;

в) 0; 10; 12;

г) 1; 2; -2;

д) 1; 2; -3;

е) 0; 1; 2; 3.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы составить уравнение с заданными корнями, можно использовать следующее свойство: если числа $x_1, x_2, \dots, x_n$ являются корнями уравнения, то это уравнение можно представить в виде произведения множителей, равного нулю: $(x - x_1)(x - x_2)\dots(x - x_n) = 0$.

а) Даны корни: $2$ и $-8$.

Составим уравнение вида $(x - x_1)(x - x_2) = 0$.

Подставляем значения корней $x_1 = 2$ и $x_2 = -8$:

$(x - 2)(x - (-8)) = 0$

$(x - 2)(x + 8) = 0$

Это уже является искомым уравнением. Можно также раскрыть скобки для получения многочлена:

$x^2 + 8x - 2x - 16 = 0$

$x^2 + 6x - 16 = 0$

Ответ: $(x - 2)(x + 8) = 0$ или $x^2 + 6x - 16 = 0$.

б) Даны корни: $0, -1, 5$.

Составим уравнение вида $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$.

Подставляем значения корней $x_1 = 0, x_2 = -1, x_3 = 5$:

$(x - 0)(x - (-1))(x - 5) = 0$

$x(x + 1)(x - 5) = 0$

Раскроем скобки:

$x(x^2 - 5x + x - 5) = 0$

$x(x^2 - 4x - 5) = 0$

$x^3 - 4x^2 - 5x = 0$

Ответ: $x(x + 1)(x - 5) = 0$ или $x^3 - 4x^2 - 5x = 0$.

в) Даны корни: $0, 10, 12$.

Составим уравнение вида $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$.

Подставляем значения корней $x_1 = 0, x_2 = 10, x_3 = 12$:

$(x - 0)(x - 10)(x - 12) = 0$

$x(x - 10)(x - 12) = 0$

Раскроем скобки:

$x(x^2 - 12x - 10x + 120) = 0$

$x(x^2 - 22x + 120) = 0$

$x^3 - 22x^2 + 120x = 0$

Ответ: $x(x - 10)(x - 12) = 0$ или $x^3 - 22x^2 + 120x = 0$.

г) Даны корни: $1, 2, -2$.

Составим уравнение вида $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$.

Подставляем значения корней $x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = -2$:

$(x - 1)(x - 2)(x - (-2)) = 0$

$(x - 1)(x - 2)(x + 2) = 0$

Используем формулу разности квадратов для $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$:

$(x - 1)(x^2 - 4) = 0$

Раскроем скобки:

$x^3 - 4x - x^2 + 4 = 0$

$x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0$

Ответ: $(x - 1)(x^2 - 4) = 0$ или $x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0$.

д) Даны корни: $1, 2, -3$.

Составим уравнение вида $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$.

Подставляем значения корней $x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = -3$:

$(x - 1)(x - 2)(x - (-3)) = 0$

$(x - 1)(x - 2)(x + 3) = 0$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 2x - x + 2)(x + 3) = 0$

$(x^2 - 3x + 2)(x + 3) = 0$

$x^3 + 3x^2 - 3x^2 - 9x + 2x + 6 = 0$

$x^3 - 7x + 6 = 0$

Ответ: $(x - 1)(x - 2)(x + 3) = 0$ или $x^3 - 7x + 6 = 0$.

е) Даны корни: $0, 1, 2, 3$.

Составим уравнение вида $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4) = 0$.

Подставляем значения корней $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = 2, x_4 = 3$:

$(x - 0)(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$

$x(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$

Последовательно раскроем скобки:

$x(x^2 - 2x - x + 2)(x - 3) = 0$

$x(x^2 - 3x + 2)(x - 3) = 0$

$x(x^3 - 3x^2 - 3x^2 + 9x + 2x - 6) = 0$

$x(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) = 0$

$x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x = 0$

Ответ: $x(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$ или $x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x = 0$.