Номер 3.123, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.123, страница 151.

Условие.

АНАЛИЗИРУЕМ (3.123–3.126) Разложите на множители:

3.123 а) $x^2(x-5)-x(x-5)-42(x-5);$

б) $y^2(y+3)+9y(y+3)+20(y+3);$

в) $2v^2(1-v^2)-5v(1-v^2)-3(1-v^2);$

г) $3a^2(a^2-4)+2a(a^2-4)-a^2+4.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) В выражении $x^2(x-5) - x(x-5) - 42(x-5)$ присутствует общий множитель $(x-5)$. Вынесем его за скобки, чтобы упростить выражение:
$(x-5)(x^2 - x - 42)$.
Теперь необходимо разложить на множители оставшийся квадратный трехчлен $x^2 - x - 42$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - t - 42 = 0$. Согласно теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-42$. Этими числами являются $7$ и $-6$.
Следовательно, квадратный трехчлен можно представить в виде произведения $(x-7)(x-(-6))$, что равно $(x-7)(x+6)$.
Объединив все множители, получаем итоговый результат.
Ответ: $(x-5)(x+6)(x-7)$.

б) В выражении $y^2(y+3) + 9y(y+3) + 20(y+3)$ общим множителем для всех слагаемых является $(y+3)$. Вынесем его за скобки:
$(y+3)(y^2 + 9y + 20)$.
Далее разложим на множители квадратный трехчлен $y^2 + 9y + 20$. Найдем корни уравнения $t^2 + 9t + 20 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а произведение $20$. Корнями являются числа $-4$ и $-5$.
Таким образом, $y^2 + 9y + 20 = (y-(-4))(y-(-5)) = (y+4)(y+5)$.
Полное разложение исходного выражения на множители имеет вид:
Ответ: $(y+3)(y+4)(y+5)$.

в) Рассмотрим выражение $2v^2(1-v^2) - 5v(1-v^2) - 3(1-v^2)$. Общий множитель здесь — $(1-v^2)$. Выносим его за скобки:
$(1-v^2)(2v^2 - 5v - 3)$.
Первый множитель, $(1-v^2)$, является разностью квадратов и раскладывается как $(1-v)(1+v)$.
Второй множитель, $2v^2 - 5v - 3$, является квадратным трехчленом. Разложим его, найдя корни уравнения $2t^2 - 5t - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{5+7}{4} = 3$ и $t_2 = \frac{5-7}{4} = -\frac{1}{2}$.
Тогда $2v^2 - 5v - 3 = 2(v-3)(v-(-\frac{1}{2})) = 2(v-3)(v+\frac{1}{2}) = (v-3)(2v+1)$.
Собирая все множители вместе, получаем:
Ответ: $(1-v)(1+v)(v-3)(2v+1)$.

г) В выражении $3a^2(a^2-4) + 2a(a^2-4) - a^2 + 4$ преобразуем последние два слагаемых: $-a^2+4 = -(a^2-4)$. Тогда выражение примет вид:
$3a^2(a^2-4) + 2a(a^2-4) - (a^2-4)$.
Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(a^2-4)$:
$(a^2-4)(3a^2 + 2a - 1)$.
Множитель $(a^2-4)$ — это разность квадратов, которая раскладывается на $(a-2)(a+2)$.
Разложим квадратный трехчлен $3a^2 + 2a - 1$, найдя корни уравнения $3t^2 + 2t - 1 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{-2+4}{6} = \frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{-2-4}{6} = -1$.
Следовательно, $3a^2 + 2a - 1 = 3(a-\frac{1}{3})(a-(-1)) = (3a-1)(a+1)$.
Объединяя все полученные множители, получаем окончательный ответ.
Ответ: $(a-2)(a+2)(a+1)(3a-1)$.