Номер 3.129, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами (Узнайте больше). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.129, страница 154.

Условие.

3.129 Решите уравнение:

а) $x^4 + 2x^3 - x - 2 = 0;$

б) $x^3 - 12x^2 + 9x + 22 = 0;$

в) $2x^3 - 7x^2 + 9 = 0;$

г) $5x^3 - 54x^2 + 39x + 10 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^4 + 2x^3 - x - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы разложить левую часть уравнения на множители:

$(x^4 + 2x^3) - (x + 2) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой скобки:

$x^3(x + 2) - 1(x + 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+2)$:

$(x + 2)(x^3 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$

2) $x^3 - 1 = 0$

Разложим разность кубов по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

Это уравнение также распадается на два:

2a) $x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

2b) $x^2 + x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексных корня:

$x = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, $x_3 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $x_4 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $x_4 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$. (Если требуются только действительные корни, то Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$).

б) $x^3 - 12x^2 + 9x + 22 = 0$

Для нахождения корней многочлена с целыми коэффициентами используем теорему о рациональных корнях. Возможные целые корни являются делителями свободного члена (22): $±1, ±2, ±11, ±22$.

Проверим подстановкой $x = -1$:

$(-1)^3 - 12(-1)^2 + 9(-1) + 22 = -1 - 12 - 9 + 22 = -22 + 22 = 0$.

Следовательно, $x_1 = -1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 - 12x^2 + 9x + 22$ делится на $(x - (-1))$, то есть на $(x+1)$.

Выполним деление многочлена столбиком или по схеме Горнера:

$(x^3 - 12x^2 + 9x + 22) : (x + 1) = x^2 - 13x + 22$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x + 1)(x^2 - 13x + 22) = 0$

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 13x + 22 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 169 - 88 = 81 = 9^2$

Найдем корни:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 9}{2}$

$x_2 = \frac{13 + 9}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$x_3 = \frac{13 - 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 11$.

в) $2x^3 - 7x^2 + 9 = 0$

Используем теорему о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ - делитель свободного члена (9), а $q$ - делитель старшего коэффициента (2). Делители 9: $±1, ±3, ±9$. Делители 2: $±1, ±2$.

Возможные рациональные корни: $±1, ±3, ±9, ±\frac{1}{2}, ±\frac{3}{2}, ±\frac{9}{2}$.

Проверим подстановкой $x = -1$:

$2(-1)^3 - 7(-1)^2 + 9 = 2(-1) - 7(1) + 9 = -2 - 7 + 9 = 0$.

Значит, $x_1 = -1$ является корнем. Разделим многочлен $2x^3 - 7x^2 + 9$ на $(x+1)$:

$(2x^3 - 7x^2 + 0x + 9) : (x+1) = 2x^2 - 9x + 9$.

Получаем уравнение:

$(x + 1)(2x^2 - 9x + 9) = 0$

Решим квадратное уравнение $2x^2 - 9x + 9 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9 = 3^2$

Найдем корни:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 3}{4}$

$x_2 = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_3 = \frac{9 - 3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$, $x_3 = \frac{3}{2}$.

г) $5x^3 - 54x^2 + 39x + 10 = 0$

Воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Делители свободного члена (10): $±1, ±2, ±5, ±10$. Делители старшего коэффициента (5): $±1, ±5$.

Проверим подстановкой $x = 1$:

$5(1)^3 - 54(1)^2 + 39(1) + 10 = 5 - 54 + 39 + 10 = 54 - 54 = 0$.

Следовательно, $x_1 = 1$ является корнем. Разделим многочлен $5x^3 - 54x^2 + 39x + 10$ на $(x-1)$:

$(5x^3 - 54x^2 + 39x + 10) : (x-1) = 5x^2 - 49x - 10$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 1)(5x^2 - 49x - 10) = 0$

Решим квадратное уравнение $5x^2 - 49x - 10 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-49)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 2401 + 200 = 2601 = 51^2$

Найдем корни:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 \pm 51}{2 \cdot 5} = \frac{49 \pm 51}{10}$

$x_2 = \frac{49 + 51}{10} = \frac{100}{10} = 10$

$x_3 = \frac{49 - 51}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 10$, $x_3 = -\frac{1}{5}$.