Номер 3.126, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.126, страница 151.

Условие.

3.126 а) $m^2 - 11mn + 28n^2$;

б) $a^2 - 16ab - 36b^2$;

в) $x^2 + 21xy + 20y^2$;

г) $b^2 + 6bc - 55c^2$;

д) $n^2 + 14an + 24a^2$;

е) $a^2 - 9ac - 36c^2$.

Подсказка. а) Решите уравнение $m^2 - 11mn + 28n^2 = 0$ относительно $m$; сделайте это устно, пользуясь формулами Виета.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для разложения на множители выражения $m^2 - 11mn + 28n^2$, рассмотрим его как квадратный трехчлен относительно переменной $m$. Решим соответствующее квадратное уравнение, приравняв выражение к нулю: $m^2 - (11n)m + (28n^2) = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Для корней $m_1$ и $m_2$ должны выполняться условия:
$m_1 + m_2 = 11n$
$m_1 \cdot m_2 = 28n^2$

Методом подбора находим, что числа $4$ и $7$ в сумме дают $11$, а в произведении $28$. Следовательно, искомые корни: $m_1 = 4n$ и $m_2 = 7n$.

Разложение квадратного трехчлена имеет вид $(m - m_1)(m - m_2)$. Подставляя найденные корни, получаем:
$(m - 4n)(m - 7n)$.

Ответ: $(m - 4n)(m - 7n)$.

б)

Чтобы разложить на множители $a^2 - 16ab - 36b^2$, будем рассматривать его как квадратный трехчлен относительно переменной $a$. Решим соответствующее квадратное уравнение $a^2 - (16b)a - (36b^2) = 0$.

Для нахождения корней воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант $D$:
$D = (-16b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36b^2) = 256b^2 + 144b^2 = 400b^2 = (20b)^2$.

Теперь найдем корни $a_1$ и $a_2$:
$a_1 = \frac{16b + \sqrt{400b^2}}{2} = \frac{16b + 20b}{2} = \frac{36b}{2} = 18b$.
$a_2 = \frac{16b - \sqrt{400b^2}}{2} = \frac{16b - 20b}{2} = \frac{-4b}{2} = -2b$.

Разложение на множители имеет вид $(a - a_1)(a - a_2)$. Подставив найденные корни, получаем:
$(a - 18b)(a - (-2b)) = (a - 18b)(a + 2b)$.

Ответ: $(a - 18b)(a + 2b)$.

в)

Для разложения на множители выражения $x^2 + 21xy + 20y^2$, рассмотрим его как квадратный трехчлен относительно переменной $x$. Решим уравнение $x^2 + (21y)x + (20y^2) = 0$.

По теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ должны выполняться условия:
$x_1 + x_2 = -21y$
$x_1 \cdot x_2 = 20y^2$

Подбираем числа, которые в сумме дают $-21$, а в произведении $20$. Это числа $-1$ и $-20$. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = -y$ и $x_2 = -20y$.

Разложение на множители: $(x - x_1)(x - x_2) = (x - (-y))(x - (-20y)) = (x + y)(x + 20y)$.

Ответ: $(x + y)(x + 20y)$.

г)

Чтобы разложить на множители $b^2 + 6bc - 55c^2$, рассмотрим выражение как квадратный трехчлен относительно переменной $b$. Решим уравнение $b^2 + (6c)b - (55c^2) = 0$.

Используем теорему Виета. Для корней $b_1$ и $b_2$ имеем:
$b_1 + b_2 = -6c$
$b_1 \cdot b_2 = -55c^2$

Подбираем числа, сумма которых равна $-6$, а произведение $-55$. Это числа $5$ и $-11$. Следовательно, корни уравнения: $b_1 = 5c$ и $b_2 = -11c$.

Разложение на множители: $(b - b_1)(b - b_2) = (b - 5c)(b - (-11c)) = (b - 5c)(b + 11c)$.

Ответ: $(b - 5c)(b + 11c)$.

д)

Для разложения на множители выражения $n^2 + 14an + 24a^2$, рассмотрим его как квадратный трехчлен относительно переменной $n$. Решим уравнение $n^2 + (14a)n + (24a^2) = 0$.

По теореме Виета, для корней $n_1$ и $n_2$ должны выполняться условия:
$n_1 + n_2 = -14a$
$n_1 \cdot n_2 = 24a^2$

Подбираем числа, сумма которых равна $-14$, а произведение $24$. Это числа $-2$ и $-12$. Следовательно, корни уравнения: $n_1 = -2a$ и $n_2 = -12a$.

Разложение на множители: $(n - n_1)(n - n_2) = (n - (-2a))(n - (-12a)) = (n + 2a)(n + 12a)$.

Ответ: $(n + 2a)(n + 12a)$.

е)

Чтобы разложить на множители $a^2 - 9ac - 36c^2$, рассмотрим выражение как квадратный трехчлен относительно переменной $a$. Решим уравнение $a^2 - (9c)a - (36c^2) = 0$.

По теореме Виета, для корней $a_1$ и $a_2$ имеем:
$a_1 + a_2 = 9c$
$a_1 \cdot a_2 = -36c^2$

Подбираем числа, сумма которых равна $9$, а произведение $-36$. Это числа $12$ и $-3$. Следовательно, корни уравнения: $a_1 = 12c$ и $a_2 = -3c$.

Разложение на множители: $(a - a_1)(a - a_2) = (a - 12c)(a - (-3c)) = (a - 12c)(a + 3c)$.

Ответ: $(a - 12c)(a + 3c)$.