Номер 5, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 5, страница 155.

Условие.

5 Приведите пример неполного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx = 0$. Покажите на этом примере, как решаются уравнения такого вида. Сколько корней имеет уравнение вида $ax^2 + bx = 0$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Неполным квадратным уравнением вида $ax^2 + bx = 0$ называется уравнение, у которого свободный член $c$ равен нулю. Для того, чтобы уравнение было квадратным, коэффициент $a$ должен быть отличен от нуля ($a \neq 0$). Для данного типа неполных уравнений мы также предполагаем, что $b \neq 0$.

Пример и способ решения

Рассмотрим в качестве примера уравнение $3x^2 - 15x = 0$.
Для решения уравнений такого вида используется метод разложения на множители. В данном случае мы можем вынести за скобки общий множитель $3x$:
$3x(x - 5) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это приводит к двум простым уравнениям:
1) $3x = 0$
2) $x - 5 = 0$
Из первого уравнения находим корень $x_1 = 0$.
Из второго уравнения находим корень $x_2 = 5$.
Таким образом, мы показали на примере, как решаются уравнения данного вида, и нашли его корни.

Количество корней

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ в общем случае, решим его аналитически.
$ax^2 + bx = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(ax + b) = 0$
Это уравнение всегда имеет два корня, поскольку оно распадается на два линейных уравнения:
1) $x = 0$
2) $ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}$
Так как по определению квадратного уравнения $a \neq 0$ и для данного типа неполного уравнения $b \neq 0$, то корень $x_2 = -\frac{b}{a}$ всегда существует и не равен нулю.
Следовательно, уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ всегда имеет два различных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{b}{a}$.

Ответ: Примером неполного квадратного уравнения является $3x^2 - 15x = 0$. Оно решается вынесением общего множителя за скобку, его корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$. Уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ (при $a \neq 0, b \neq 0$) всегда имеет два корня.