Номер 8, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 8, страница 155.

Условие.

8 Чему равны сумма и произведение корней неприведённого квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$? Определите знаки корней уравнения:

а) $3x^2 - 5x + 2 = 0$;

б) $2x^2 + 7x - 3 = 0$.

В случае если корни имеют разные знаки, определите, модуль какого из них больше.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для неприведенного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни, существуют обобщенные формулы Виета. Сумма и произведение корней вычисляются следующим образом:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Теперь применим эти формулы для решения конкретных уравнений.

а) $3x^2 - 5x + 2 = 0$

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$.

Прежде всего, убедимся в наличии действительных корней, вычислив дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Используем формулы Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{3} = \frac{5}{3}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$.

Для определения знаков корней проанализируем их сумму и произведение. Так как произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3}$ положительно, оба корня имеют одинаковый знак. Так как их сумма $x_1 + x_2 = \frac{5}{3}$ также положительна, то оба корня являются положительными.

Ответ: сумма корней равна $\frac{5}{3}$, произведение корней равно $\frac{2}{3}$. Оба корня положительные.

б) $2x^2 + 7x - 3 = 0$

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 7$, $c = -3$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49 + 24 = 73$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Используем формулы Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{2}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}$.

Проанализируем знаки корней. Так как произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -\frac{3}{2}$ отрицательно, корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный). Чтобы определить, модуль какого из них больше, посмотрим на знак их суммы. Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{7}{2}$ отрицательна. Это означает, что отрицательный корень "перевешивает" положительный, то есть его модуль больше.

Ответ: сумма корней равна $-\frac{7}{2}$, произведение корней равно $-\frac{3}{2}$. Корни имеют разные знаки; модуль отрицательного корня больше модуля положительного.