Номер 1, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 1, страница 156.

Условие.

1 Решите уравнение:

а) $3x^2 + 5x - 2 = 0;$

б) $x^2 - 2x - 1 = 0;$

в) $4x^2 - 12x + 9 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $3x^2 + 5x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты равны: $a=3$, $b=5$, $c=-2$. Для решения используем формулу корней квадратного уравнения через дискриминант.
Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 - (-24) = 25 + 24 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = \frac{1}{3}$.

б) $x^2 - 2x - 1 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a=1$, $b=-2$, $c=-1$. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 - (-4) = 4 + 4 = 8$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Поскольку $\sqrt{D} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$, получаем:
$x_1 = \frac{-(-2) - 2\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-(-2) + 2\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2}$.
Ответ: $x_1 = 1 - \sqrt{2}, x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

в) $4x^2 - 12x + 9 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a=4$, $b=-12$, $c=9$. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня). Корень находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:
$x = \frac{-(-12)}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом разности: $4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2$. Тогда уравнение принимает вид $(2x-3)^2 = 0$, откуда $2x-3=0$, и $x = \frac{3}{2}$.
Ответ: $x = \frac{3}{2}$.