Номер 7, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 7, страница 155.

Условие.

7 Сформулируйте теорему Виета. Чему равны произведение и сумма корней уравнения $x^2 - 27x + 180 = 0$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Сформулируйте теорему Виета

Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами многочлена и его корнями.

Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, если оно имеет действительные корни $x_1$ и $x_2$, то их сумма и произведение выражаются через коэффициенты $p$ и $q$ следующим образом:

• Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$

Для полного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$, если оно имеет действительные корни $x_1$ и $x_2$, формулы Виета выглядят так:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Ответ: Теорема Виета гласит, что для приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, а произведение корней равно $q$.

Чему равны произведение и сумма корней уравнения $x^2 - 27x + 180 = 0$?

Рассмотрим заданное квадратное уравнение $x^2 - 27x + 180 = 0$. Это приведённое квадратное уравнение, так как коэффициент при $x^2$ равен 1. Для него можно применить теорему Виета.

Сначала убедимся, что уравнение имеет корни. Для этого вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 729 - 720 = 9$

Поскольку $D = 9 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и теорема Виета применима.

В нашем уравнении коэффициенты равны: $p = -27$ и $q = 180$.

Согласно теореме Виета:

1. Сумма корней $x_1 + x_2$ равна второму коэффициенту с противоположным знаком:

$x_1 + x_2 = -p = -(-27) = 27$

2. Произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену:

$x_1 \cdot x_2 = q = 180$

Ответ: Сумма корней уравнения равна 27, а произведение корней равно 180.