Номер 5, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5 Сумма $n$ последовательных натуральных чисел, начиная с 1, вычисляется по формуле $A = \frac{n^2 + n}{2}$. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получить 55?

В задаче дана формула для вычисления суммы $n$ последовательных натуральных чисел, начиная с 1:
$A = \frac{n^2 + n}{2}$

Здесь $A$ — это сумма чисел, а $n$ — их количество. Нам нужно найти, сколько чисел ($n$) необходимо сложить, чтобы их сумма ($A$) стала равна 55.

Для этого подставим в формулу значение $A = 55$ и решим получившееся уравнение:
$55 = \frac{n^2 + n}{2}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:
$55 \cdot 2 = n^2 + n$
$110 = n^2 + n$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0:$
$n^2 + n - 110 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac.$
В нашем случае коэффициенты равны: $a = 1, b = 1, c = -110.$
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}:$
$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Мы получили два корня: 10 и -11. Поскольку $n$ в условии задачи обозначает количество натуральных чисел, оно должно быть положительным целым числом. Поэтому корень $n_2 = -11$ не подходит по смыслу задачи.
Единственное верное решение — $n = 10$.

Ответ: чтобы в сумме получить 55, надо сложить 10 последовательных натуральных чисел, начиная с 1.