Номер 7, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 7, страница 156.

Условие.

7 Укажите, чему равны произведение и сумма корней уравнения, и определите знаки корней:

а) $x^2 - 7x + 12 = 0$;

б) $2x^2 + 3x + 1 = 0$;

в) $x^2 - 4x - 32 = 0$;

г) $3x^2 + 11x - 4 = 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данной задачи мы воспользуемся теоремой Виета. Прежде чем применять теорему, для каждого уравнения убедимся в наличии действительных корней, проверив знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, то корни существуют.

Согласно теореме Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Для приведенного квадратного уравнения ($a=1$) формулы упрощаются до $x_1 + x_2 = -b$ и $x_1 \cdot x_2 = c$.

Знаки корней определяются по знакам их суммы и произведения:

• Если произведение положительно ($x_1 \cdot x_2 > 0$), то оба корня имеют одинаковый знак. Если при этом сумма положительна ($x_1 + x_2 > 0$), то оба корня положительные. Если сумма отрицательна ($x_1 + x_2 < 0$), то оба корня отрицательные.
• Если произведение отрицательно ($x_1 \cdot x_2 < 0$), то корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).

а)

Рассмотрим уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-7, c=12$.

Проверим дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$. Так как $D > 0$, у уравнения есть два различных действительных корня.

По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b = -(-7) = 7$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c = 12$.

Анализ знаков: произведение корней положительно ($12 > 0$), значит, корни одного знака. Сумма корней также положительна ($7 > 0$), следовательно, оба корня являются положительными числами.

Ответ: сумма корней равна 7, произведение равно 12, оба корня положительные.

б)

Рассмотрим уравнение $2x^2 + 3x + 1 = 0$. Коэффициенты: $a=2, b=3, c=1$.

Проверим дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$. Так как $D > 0$, у уравнения есть два различных действительных корня.

По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{2}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$.

Анализ знаков: произведение корней положительно ($\frac{1}{2} > 0$), значит, корни одного знака. Сумма корней отрицательна ($-\frac{3}{2} < 0$), следовательно, оба корня являются отрицательными числами.

Ответ: сумма корней равна $-\frac{3}{2}$, произведение равно $\frac{1}{2}$, оба корня отрицательные.

в)

Рассмотрим уравнение $x^2 - 4x - 32 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-4, c=-32$.

Проверим дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$. Так как $D > 0$, у уравнения есть два различных действительных корня.

По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b = -(-4) = 4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c = -32$.

Анализ знаков: произведение корней отрицательно ($-32 < 0$), следовательно, корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).

Ответ: сумма корней равна 4, произведение равно -32, корни имеют разные знаки.

г)

Рассмотрим уравнение $3x^2 + 11x - 4 = 0$. Коэффициенты: $a=3, b=11, c=-4$.

Проверим дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169$. Так как $D > 0$, у уравнения есть два различных действительных корня.

По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{11}{3}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{4}{3}$.

Анализ знаков: произведение корней отрицательно ($-\frac{4}{3} < 0$), следовательно, корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).

Ответ: сумма корней равна $-\frac{11}{3}$, произведение равно $-\frac{4}{3}$, корни имеют разные знаки.