Номер 2, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 156.

Условие.

2 Вычислив дискриминант квадратного уравнения, определите: 1) имеет ли уравнение корни; 2) если имеет, то сколько; 3) рациональными или иррациональными числами являются корни:

а) $5x^2 - 11x + 2 = 0;$

б) $x^2 + 3x + 5 = 0;$

в) $2x^2 - x - 2 = 0;$

г) $9x^2 + 6x + 1 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $5x^2 - 11x + 2 = 0$
Для решения определим коэффициенты квадратного уравнения: $a = 5, b = -11, c = 2$.
Вычислим дискриминант (D) по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81$.
1) Имеет ли уравнение корни: так как $D > 0$ ($81 > 0$), уравнение имеет корни.
2) Сколько корней: поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня.
3) Рациональны или иррациональны корни: так как дискриминант является полным квадратом ($D = 81 = 9^2$), корни уравнения являются рациональными числами.
Ответ: уравнение имеет два рациональных корня.

б) $x^2 + 3x + 5 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a = 1, b = 3, c = 5$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.
1) Имеет ли уравнение корни: так как $D < 0$ ($-11 < 0$), уравнение не имеет действительных корней.
2) Количество корней: 0.
3) Так как действительных корней нет, вопрос об их рациональности не ставится.
Ответ: уравнение не имеет действительных корней.

в) $2x^2 - x - 2 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a = 2, b = -1, c = -2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$.
1) Имеет ли уравнение корни: так как $D > 0$ ($17 > 0$), уравнение имеет корни.
2) Сколько корней: так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня.
3) Рациональны или иррациональны корни: так как дискриминант $17$ не является полным квадратом, корни уравнения будут иррациональными числами (содержащими $\sqrt{17}$).
Ответ: уравнение имеет два иррациональных корня.

г) $9x^2 + 6x + 1 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a = 9, b = 6, c = 1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$.
1) Имеет ли уравнение корни: так как $D = 0$, уравнение имеет корни.
2) Сколько корней: поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих).
3) Рациональны или иррациональны корни: корень уравнения $x = \frac{-b}{2a}$ является рациональным числом.
Ответ: уравнение имеет один рациональный корень.