Номер 6, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 6, страница 155.

Условие.

6 Приведите пример неполного квадратного уравнения вида $ax^2 + c = 0$. Покажите на этом примере, как решаются уравнения такого вида. Сколько корней может иметь уравнение вида $ax^2 + c = 0$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Приведите пример неполного квадратного уравнения вида $ax^2 + c = 0$.

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$ — это уравнение, в котором коэффициент при переменной в первой степени равен нулю (то есть $b=0$). При этом старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю.

В качестве примера можно взять уравнение, где $a=3$ и $c=-27$.

Пример уравнения: $3x^2 - 27 = 0$.

Ответ: $3x^2 - 27 = 0$.

Покажите на этом примере, как решаются уравнения такого вида.

Решим уравнение $3x^2 - 27 = 0$ пошагово.

1. Изолируем слагаемое с $x^2$. Для этого перенесем свободный член (число $-27$) из левой части уравнения в правую, поменяв его знак:

$3x^2 = 27$

2. Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на $3$:

$x^2 = \frac{27}{3}$

$x^2 = 9$

3. Теперь найдем $x$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения. Квадратный корень из положительного числа имеет два значения: положительное и отрицательное.

$x = \pm\sqrt{9}$

Таким образом, получаем два корня:

$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: Уравнение $3x^2 - 27 = 0$ решается путем изоляции $x^2$ и последующего извлечения квадратного корня. Корни уравнения: $3$ и $-3$.

Сколько корней может иметь уравнение вида $ax^2 + c = 0$?

Чтобы определить количество корней, выразим $x^2$ из общего вида уравнения:

$ax^2 = -c$

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Количество действительных корней зависит от знака выражения в правой части ($-\frac{c}{a}$):

1. Два корня. Если выражение $-\frac{c}{a}$ положительно ($-\frac{c}{a} > 0$), что равносильно тому, что коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки. В этом случае $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.
   Пример: $5x^2 - 20 = 0 \implies x^2=4$. Корни $x_1=2$, $x_2=-2$.
2. Один корень. Если выражение $-\frac{c}{a}$ равно нулю ($-\frac{c}{a} = 0$), что возможно только при $c=0$ (так как $a \neq 0$). Уравнение принимает вид $ax^2 = 0$, откуда $x^2 = 0$, и единственный корень $x=0$.
   Пример: $-7x^2 = 0 \implies x^2=0$. Корень $x=0$.
3. Нет действительных корней. Если выражение $-\frac{c}{a}$ отрицательно ($-\frac{c}{a} < 0$), что равносильно тому, что коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
   Пример: $2x^2 + 8 = 0 \implies x^2=-4$. Действительных корней нет.

Ответ: Уравнение вида $ax^2 + c = 0$ может иметь два корня, один корень или не иметь действительных корней.