Номер 9, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 9, страница 155.

Условие.

9 Приведите пример квадратного трёхчлена. Запишите формулу для разложения на множители квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$, корни которого равны $x_1$ и $x_2$. Разложите, если возможно, на множители многочлен $-2x^2 + x + 3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пример квадратного трёхчлена

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а коэффициенты $a, b, c$ — любые числа, причём $a \neq 0$. Простейшим примером может служить многочлен, где коэффициенты являются целыми числами.

Ответ: $x^2 + 5x - 6$.

Формула для разложения на множители квадратного трёхчлена

Если квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ имеет действительные корни $x_1$ и $x_2$ (решения уравнения $ax^2 + bx + c = 0$), то его можно представить в виде произведения трёх множителей по следующей формуле:

Ответ: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Разложение на множители многочлена $-2x^2 + x + 3$

Чтобы разложить данный многочлен на множители, воспользуемся формулой, указанной выше. Для этого сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения $-2x^2 + x + 3 = 0$.

Здесь коэффициенты: $a = -2, b = 1, c = 3$.

1. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 3 = 1 + 24 = 25$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, а значит, трёхчлен можно разложить на множители.

2. Найдём корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-1 + 5}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-1 - 5}{-4} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}$

3. Подставим значения коэффициента $a = -2$ и корней $x_1 = -1$ и $x_2 = \frac{3}{2}$ в формулу разложения:

$-2x^2 + x + 3 = a(x - x_1)(x - x_2) = -2(x - (-1))(x - \frac{3}{2}) = -2(x + 1)(x - \frac{3}{2})$.

Это уже является разложением на множители. Для более эстетичного вида можно избавиться от дроби, умножив множитель $-2$ на скобку $(x - \frac{3}{2})$:

$-2(x + 1)(x - \frac{3}{2}) = (x + 1) \cdot (-2(x - \frac{3}{2})) = (x + 1)(-2x + 3)$.

Также можно вынести $-1$ за скобки из второго множителя, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$(x+1)(-2x+3) = -(x+1)(2x-3)$.

Ответ: $-2(x + 1)(x - \frac{3}{2})$, что эквивалентно $(x + 1)(-2x + 3)$ или $-(x + 1)(2x - 3)$.