Номер 3, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3, страница 156.

Условие.

3 Решите уравнение:

а) $3x^2 = 2x + 4;$

б) $(x - 1)(2x + 3) = -2;$

в) $\frac{x^2 + 7}{2} = 4x.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $3x^2 = 2x + 4$

Сначала приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть:

$3x^2 - 2x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 3$, $b = -2$, $c = -4$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 4 + 48 = 52$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 13}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{6}$

Упростим выражение, сократив дробь на 2:

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{13}}{3}; \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$.

б) $(x - 1)(2x + 3) = -2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$2x^2 + 3x - 2x - 3 = -2$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + x - 3 = -2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду:

$2x^2 + x - 3 + 2 = 0$

$2x^2 + x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 2$, $b = 1$, $c = -1$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$

Вычислим каждый корень:

$x_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Ответ: $-1; \frac{1}{2}$.

в) $\frac{x^2 + 7}{2} = 4x$

Избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 2:

$x^2 + 7 = 8x$

Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся $8x$ в левую часть:

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = -8$, $c = 7$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 6}{2}$

Вычислим каждый корень:

$x_1 = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $1; 7$.