Номер 8, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 8, страница 156.

Условие.

8 Разложите, если возможно, на множители:

а) $x^2 + 6x - 7$;

б) $4x^2 - 9x + 2$;

в) $3x^2 - 2x + 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 + 6x - 7$, необходимо найти его корни. Для этого решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 6x - 7 = 0$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=6$, $c=-7$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.
Разложение квадратного трехчлена на множители осуществляется по формуле $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 + 6x - 7 = 1 \cdot (x - 1)(x - (-7)) = (x - 1)(x + 7)$.
Ответ: $(x - 1)(x + 7)$.

б) Чтобы разложить на множители трехчлен $4x^2 - 9x + 2$, найдем корни уравнения $4x^2 - 9x + 2 = 0$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=4$, $b=-9$, $c=2$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Воспользуемся формулой разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$4x^2 - 9x + 2 = 4(x - 2)(x - \frac{1}{4})$.
Для удобства внесем множитель 4 во вторую скобку:
$4(x - 2)(x - \frac{1}{4}) = (x - 2) \cdot 4(x - \frac{1}{4}) = (x - 2)(4x - 1)$.
Ответ: $(x - 2)(4x - 1)$.

в) Чтобы разложить на множители трехчлен $3x^2 - 2x + 1$, попробуем найти корни уравнения $3x^2 - 2x + 1 = 0$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=3$, $b=-2$, $c=1$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.
Так как дискриминант $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что данный квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.
Ответ: разложить на множители невозможно.