Номер 3.104, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.104, страница 145.

Условие.

3.104 Найдите все целые положительные значения q, при которых данное уравнение имеет целые корни:

a) $x^2 + 5x + q = 0$;

б) $x^2 - 6x + q = 0$.

Найдите несколько целых отрицательных значений q, при которых указанные уравнения имеют целые корни. Можно ли перечислить все такие значения q?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^2 + 5x + q = 0$

Для нахождения всех целых положительных значений $q$, при которых данное уравнение имеет целые корни, воспользуемся теоремой Виета. Если $x_1$ и $x_2$ — целые корни уравнения, то справедливы соотношения:
$x_1 + x_2 = -5$
$x_1 \cdot x_2 = q$

По условию $q$ — целое положительное число ($q > 0$). Из второго уравнения $x_1 \cdot x_2 = q$ следует, что корни $x_1$ и $x_2$ имеют одинаковый знак. Из первого уравнения $x_1 + x_2 = -5$ следует, что оба корня — отрицательные целые числа.

Нам необходимо найти все пары отрицательных целых чисел, сумма которых равна -5. Такими парами (с точностью до перестановки) являются (-1, -4) и (-2, -3).
Для пары корней $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$ получаем $q = x_1 \cdot x_2 = (-1) \cdot (-4) = 4$.
Для пары корней $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$ получаем $q = x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot (-3) = 6$.
Других таких пар целых чисел не существует.

Ответ: $q=4, q=6$.

б) $x^2 - 6x + q = 0$

Аналогично предыдущему пункту, используем теорему Виета. Для целых корней $x_1$ и $x_2$ имеем:
$x_1 + x_2 = 6$
$x_1 \cdot x_2 = q$

Так как $q$ — положительное целое число ($q > 0$), корни $x_1$ и $x_2$ должны быть одного знака. Поскольку их сумма $x_1 + x_2 = 6$ положительна, оба корня являются положительными целыми числами.

Найдем все пары положительных целых чисел, сумма которых равна 6. Такими парами (с точностью до перестановки) являются (1, 5), (2, 4) и (3, 3).
Для пары корней $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$ получаем $q = x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 5 = 5$.
Для пары корней $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$ получаем $q = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 4 = 8$.
Для пары корней $x_1 = 3$ и $x_2 = 3$ получаем $q = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 3 = 9$.
Других таких пар целых чисел не существует.

Ответ: $q=5, q=8, q=9$.

Найдите несколько целых отрицательных значений q, при которых указанные уравнения имеют целые корни. Можно ли перечислить все такие значения q?

Рассмотрим случай, когда $q$ является целым отрицательным числом. В этом случае, согласно теореме Виета ($x_1 \cdot x_2 = q$), целые корни $x_1$ и $x_2$ должны иметь разные знаки.

Для уравнения а) $x^2 + 5x + q = 0$, где $x_1 + x_2 = -5$, можно подобрать бесконечно много пар целых чисел с разными знаками, сумма которых равна -5. Например:
Если $x_1 = 1$, то $x_2 = -6$, и $q = 1 \cdot (-6) = -6$.
Если $x_1 = 2$, то $x_2 = -7$, и $q = 2 \cdot (-7) = -14$.
Если $x_1 = 3$, то $x_2 = -8$, и $q = 3 \cdot (-8) = -24$.

Для уравнения б) $x^2 - 6x + q = 0$, где $x_1 + x_2 = 6$, также существует бесконечно много пар целых корней с разными знаками. Например:
Если $x_2 = -1$, то $x_1 = 7$, и $q = 7 \cdot (-1) = -7$.
Если $x_2 = -2$, то $x_1 = 8$, и $q = 8 \cdot (-2) = -16$.
Если $x_2 = -3$, то $x_1 = 9$, и $q = 9 \cdot (-3) = -27$.

В общем виде, для уравнения а) можно взять $x_1 = n$ (где $n$ — любое натуральное число), тогда $x_2 = -5-n$, а $q = -n(n+5)$. Для уравнения б) можно взять $x_2 = -n$ (где $n$ — любое натуральное число), тогда $x_1 = n+6$, а $q = -n(n+6)$. Поскольку $n$ может быть любым натуральным числом, в обоих случаях существует бесконечное множество отрицательных значений $q$. Следовательно, перечислить все такие значения невозможно.

Ответ: Несколько примеров целых отрицательных значений $q$ для уравнения а): -6, -14, -24. Для уравнения б): -7, -16, -27. Перечислить все такие значения $q$ невозможно, так как их множество бесконечно.